Bevis for ændring af grundtal i logaritmer

I denne video vil jeg bevise reglen for ændring af grundtal i logaritmer. Den siger, at log_a (x) er lig med log_b (x) divideret med log_b (a). Dette er ret nyttigt. Hvis din lommeregner kun kan udregne den naturlige eller 10tals-logaritmen, så kan du nu udregne logaritmen med et vilkårlig grundtal. Hvis du skal udregne 3tals-logaritmen til 25, så kan du på din lommeregner bruge 10tals-logaritmen, så det bliver lig med 10tals-logaritmen til 25 -- de fleste lommeregnere har en knap for den -- divideret med 10tals-logaritmen til 3. Her bruges reglen for ændring af grundtal. Men lad os bevise den. Lad os sige, at logaritmen med grundtal a til x er lig en ny variabel, som vi kan kalde for y. Dette her er altså lig y. Dette betyder, at a opløftet til y er x. Dette kan vi omskrive til a opløftet til y er lig x. Disse to er lig hinanden, blot omskrevet. Nu kan vi introducere logaritmen med grundtal b. Nu tager jeg logaritmen med grundtal b på begge sider af denne ligning. Vi ved fra vores logaritmeregler, at logaritmen til en potens er det samme som eksponenten gange logaritmen til potensens grundtal. Logaritmen med grundtal b til a opløftet til y er det samme som y gange logaritmen med grundtal b til a. Dette er 3. logaritmeregel. Vi har vist den i en anden video. Vi ved det er lig den højre side, så logaritmen med grundtal b til x. Lad os isolere y. Det er spændende, da y er dette lige her. Når vi nu isolerer y, så får vi y udtrykt med logaritmen med grundtal b. Vi behøver blot at dividere på begge sider med logaritmen med grundtal b til a. På venstre side går disse ud med hinanden og tilbage har vi -- trommesolo -- y er lig logaritmen med grundtal b til x over logaritmen med grundtal b til a. Lad mig lige kopiere, så jeg ikke skal skifte farve hele tiden. Sådan. Vi har reglen for ændring af grundtal. Husk, y er det samme som logaritmen med grundtal a til x. Det er defineret sådan. y er lig logaritmen med grundtal a til x, som også er lig dette, hvis vi udtrykker det med grundtal b. Og vi har reglen for ændring af grundtal.