If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 8

Modul 5: Løsning af eksponentielle ligninger med logaritmer
Matematik
Algebra 2
Logaritmer
Løsning af eksponentielle ligninger med logaritmer
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Løsning af eksponentielle ligninger ved hjælp af logaritmer

Google Classroom
Lær, hvordan du løse enhver eksponentiel ligning på formen a⋅b^(cx)=d. For eksempel løs 6⋅10^(2x)=48.
Nøglen til at løse eksponentielle ligninger er logaritmer! De følgende eksempler vil give dig en lille forsmag på denne metode.

Løsning af en eksponentiel ligning på formen a, dot, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Lad os løse ligningen 5, dot, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240.
For at kunne løse for x, skal vi først have isoleret potensen. Det klares nemt med division på begge sider med 5. Det er ikke tilladt, at gange 5 og 2!
5⋅2x=2402x=48\begin{aligned} 5\cdot 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Hvad er næste trin? Vi kan isolere x ved at omskrive ligningen til logaritmisk form.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 er det samme som log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
Ligningen er løst! En præcis løsning er x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
Da 2 ikke kan opløftes til en heltals-potens, der er lig med 48, så vi skal bruge en lommeregner, og derfor ofte nødvendigt at ændre logaritmens grundtal.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)regel for ændring af grundtal≈5,585udregn med lommeregner\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{regel for ændring af grundtal}}} \\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{udregn med lommeregner}}} \end{aligned}
Den tilnærmede løsning, afrundet til nærmeste tusindedele, er x, approximately equals, 5, comma, 585.

Tjek din forståelse

1) Hvad er løsningen til 2, dot, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236?
Vælg 1 svar:

2) Udregn 5, dot, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Afrund det svar til nærmeste tusindedele.
t, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Udregn 6, dot, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
y, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Løsning af en eksponentiel ligning på formen a, dot, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Lad os løse ligningen 6, dot, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48
I denne opgave er første trin division på begge sider med 6.
6⋅102x=48102x=8\begin{aligned} 6\cdot 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
Dernæst omskriver vi ligningen til logaritmisk form.
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
Til sidst isoleres x ved division på begge sider med 2.
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Dette er en præcis løsning. Men lad os ligeledes udregne en tilnærmet værdi afrundet til nærmeste tusindedele. I denne opgave behøver vi ikke ændre grundtallet, da det allerede er 10.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452udregn med lommeregner\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0{,}452 &&{\gray{\text{udregn med lommeregner}}}\end{aligned}

Tjek din forståelse

4) Hvilken af nedenstående er løsningen til 3, dot, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522?
Vælg 1 svar:

5) Udregn 4, dot, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
x, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Udregn minus, 2, dot, 3, start superscript, 0, point, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Afrund dit svar til nærmeste tusindedele.
z, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Udfordrende opgave

7) Hvilke af nedenstående er løsningen til left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0?
Vælg alle svar der passer:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.