Hovedindhold

Emne: (Algebra 2 > Emne 8

Modul 6: Løsning af eksponentialmodeller

Logaritmer

Her gennemgås ofte stillede spørgsmål, når du begynder at lære om logaritmer

Hvad er logaritmer?

Logaritmer er den inverse regneoperation af potenser. Vi kan bruge logaritmer til at bestemme eksponenten til et givet grundtal for at give en vis potens. For eksempel, så er

\log_{2} 8 = 3

, fordi

2^{3} = 8

Hvad er konstanten $e$ ‍?

Konstanten

e

er et meget vigtigt tal i matematikens verden. Det er et irrationelt tal, hvilket betyder det hverken kan skrives som en brøk eller et decimaltal. Vi ser det ofte afrundet som

e \approx 2,718 28

. Det er grundtallet i den naturlige logaritme

\ln

Når

n

bliver større og større, så vil udtrykket

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

få en værdi tættere og tættere på

e

Konstanten

e

dukker op i mange matematiske og videnskabelige sammenhænge, som i statistik og ved eksponentiel vækst og henfald.

Hvad er logaritmeregnereglerne?

Der er nogle vigtige logaritmeregneregler som ofte bruges:

$\log_{b} 1 = 0$ ‍ for alle grundtal $b$ ‍
$\log_{b} b = 1$ ‍ for alle grundtal $b$ ‍
$\log_{b} x y = \log_{b} x + \log_{b} y$ ‍
$\log_{b} \frac{x}{y} = \log_{b} x - \log_{b} y$ ‍
$\log_{b} x^{n} = n \log_{b} x$ ‍

Hvad er reglen for ændring af grundtal for logaritmer?

Reglen for ændring af grundtal gør det muligt at ændre grundtallet af en logaritme til et andet grundtal. Reglen siger,

\log_{b} x = \frac{\log_{c} x}{\log_{c} b}

for alle grundtal

b

c

Vi kan bruge reglen for ændring af grundtal til at ændre grundtallet i

5

tals-logaritmen

\log_{5} 100

til

10

\log_{5} 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 5}

Nu kan vi bruge en lommeregner (samt vores viden om logaritmer) til at udregne værdien af de to

10

tals-logaritmer på højre side af ligningen:

\log_{5} 100 \approx \frac{2}{0,698 9 …} \approx 2,861

Hvordan bruger vi logaritmer til at løse eksponentielle ligninger?

Logaritmer kan være meget nyttige, når vi skal løse eksponentielle ligninger. For eksempel, når vi skal løse ligningen

2^{x} = 9

, så kan vi tage logaritmen på begge sider og bruge logaritmeregler til at løse for den ubekendte.

\begin{aligned} 2^{x} & = 9 \\ \log_{10} 2^{x} & = \log_{10} 9 \\ x \log_{10} 2 & = \log_{10} 9 \\ x & = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 2} \\ x & \approx 3,167 \end{aligned}

Hvor anvendes logaritmer i den virkelige verden?

Logaritmer bruges på mange forskellige måder i den virkelige verden. De er vigtige inden for områder som økonomi, teknik og videnskab. F.eks. anvender Richter-skalaen, som måler størrelsen af jordskælv, logaritmisk skala. Det betyder, at et jordskælv med størrelsen 6 faktisk er ti gange stærkere end et med størrelse 5!

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Algebra 2