Bevis for 2. og 3. logaritmeregel (kvotient- og potensreglen)

Lad os se, om vi kan komme frem til endnu en logaritmeregel. logₓA = B. Det er det samme som at sige, at x opløftet til B er lig A. Godt. Nu vil jeg eksperimentere. Hvad sker der, hvis jeg ganger dette udtryk med endnu en variabel? Lad os kalde den C. Jeg ganger på begge sider af ligningen med C. -- jeg skifter lige farve -- Dette er ikke x, det er gange C. Jeg bør nok bruge en prik. Jeg ganger på begge sider af ligningen med C. Jeg får C ∙ logₓA = B ∙ C. Godt nok. Du kan nok se, jeg ikke har gjort noget fantastisk endnu. Her sagde vi, at dette er det samme som dette. Lad os derfor prøve os frem. Lad os opløfte denne side til C. Dette tegn er cirkumfleks. Når du skriver eksponenter, så kan du bruge en cirkumfleks. Denne side bliver derfor X opløftet til B opløftet til C. er lig A opløftet til C. Jeg opløfter begge sider af ligningen til C. Hvad gør vi, når vi opløfter en potens til en potens? Vi ganger blot eksponenterne. Så vi har x opløftet til BC er lig A opløftet til C. Hvad kan vi nu gøre? Måske tage logaritmen på begge sider? Nej lad os omskrive disse til logaritmisk form. Vi ved at, x opløftet til BC er lig A opløftet til C, Det er det samme som at sige logₓA opløftet til C er lig BC. Jeg omskrev blot dette til et logaritmisk udtryk. Du har nok set, at der er sket noget spændende. BC er det samme som dette BC. Derfor må dette udtryk være lig dette udtryk. Og vi har vist endnu en logaritmeregel. Hvis der en koefficient foran en logaritme, som C∙logₓA , så er det det samme som logₓA opløftet til C. Du kan tage denne koefficient og lave den om til en eksponent inde i logaritmen. Det er 3. logaritmeregel. Lad os gennemgå hvad vi ved om logaritmer. C∙logₓA er lig logₓ(A opløftet til C). Det ved vi. Vi har også lært at, logₓA + logₓB er lig logₓ(A ∙ B). Hvad sker der, hvis vi har et minustegn her i stedet? Det kan du sikkert selv finde ud af, men vi kan lave det samme bevis, som vi har gjort før. Men denne gang med et minustegn. Lad os sige, at logₓA = l og logₓB = m. Og lad os sige, at logₓ(A/B) = n. Hvordan kan vi omskrive disse udtryk til eksponentiel form? Dette svarer til, at x opløftet til l er lig A. -- lad mig skifte farve -- Dette svarer til, at x opløftet til m er lig B. Og dette svarer til, at x opløftet til n er lig A/B. Hvad kan vi nu gøre? Kan vi skrive A/B på en anden måde? Det er det samme som at skrive x opløftet til l, som er A over x opløftet til m, som er B. Ved at bruge potensregnereglerne, så kan dette omskrive til x opløftet til l gange x opløftet til -m. Dette er lig x opløftet til l - m. Hvad ved vi? Vi ved, at x opløftet til n er lig x opløftet til l - m. Disse er lig hinanden. Jeg har lige lavet en stor ligning. Derfor er n lig l - m. Hvorfor er det godt? Hvordan kan vi også skrive n? Jeg skriver det heroppe, da vi vist har lavet endnu en logaritmeregel. Hvordan kan vi også skrive n? Det står lige her. Dette svarer til n. logₓ(A/B) = l .. som er lige her, logₓA = l. logₓA - m. m står lige her, det er logₓB. Sådan. Jeg havde nok ikke behøvet vise det, du kunne blot selv have divideret, men her er det. Men du er forhåbentlig klar over, at dette er 2. logaritmeregel. Der er endnu en logaritmeregel tilbage, men den har vi ikke tid til i denne video. Det gør vi i den næste video. Vi ses.