Symmetri i algebraiske modeller

Cid eksperimenterer med et stykke sandpapir og noget træ. Han prøver at gnide sandpapiret hen over træet på forskellige måder for at se, hvor meget der slibes af. Tykkelsen af det afslebne træ i millimeter som en funktion af sandpapirets fart i meter per sekund, T(v) -- dette er tykkelsen af det afslebne træ. Det er en funktion af farten. Da de bruger v og negative værdier, så har retningen en betydning, så det er egentlig hastighed. Hvor meget der slibes af som en funktion af hastigheden er vist nedenfor. Hvis hastigheden er størren end 0, så betyder det, at sandpapiret flyttes mod højre. Det giver mening. Det er standard konventionen. Hvis hastigheden er mindre end 0, så betyder det, at sandpapiret flyttes mod venstre. Fint nok. Funktionen er lige. Hvilken betydning har det, at denne funktion er lige? Det at den er lige, betyder at T(v) er lig T(-v). Det fortæller os, hvis vores hastighed er 8 meter per sekund til venstre, så sliber vi lige så meget af, som hvis vi går 8 meter per sekund til højre. Det kan vi se lige her. Det her er lig med dette her. Hvis vi går 6 meter per sekund til venstre så sliber vi lige så meget af, som hvis vi går 6 meter per sekund til højre. Disse to er lige store. Vi kan gøre det samme for 4 meter per sekund og -4 meter per sekund. Det betyder ikke noget, om vi går mod venstre eller højre. Det der betyder noget er hastighedens størrelse eller den numeriske værdi af den. Det er ligegyldigt om det er mod venstre eller højre. Uanset om vi går mod venstre eller højre med en hastighed af en hvis størrelse, så slibes den samme mængde af. Lad os se, hvilken af disse muligheder der stemmer overens med det jeg lige har sagt. Når sandpapiret bevæges hurtigere, så slibes mere træ af. Det er sandt. Vi kan se, når farten øges, eller fartens størrelse øges, så sliber vi mere træ af. Måske tænker du, men -8 er mindre end -2. Ja, men størrelsen er større. Vi går 8 meter per sekund mod venstre og vi sliber mere af. Dette udsagn er sandt, men det har intet at gøre med, at funktionen er lige. Det ville stadig have været sandt, hvis dette havde været 7, men funktionen ville så ikke længere være lige. Træstykket er 6 millimeter tykt. Vi ved faktisk ikke noget om det ud fra dette. Når sandpapiret bevæges til højre har samme effekt, som når det flyttes til venstre. Det er tæt på det, jeg sagde før. For en givet fart mod højre eller venstre så slibes samme mængde træ af med sandpapiret. Dette ser ud til at være vores svar. Det slibes ikke noget træ af, hvis sandpapiret holdes stille. Det er også sandt, men endnu engang det har inget at gøre med, at funktionen er lige.