Introduktion til polynomier

Lad os lære om polynomier. Det lyder som et svært ord, men det er faktisk ikke så svært, især når vi ser på nogle eksempler af polynomier. Den første del af ordet, som jeg understreger er poly. Det kommer fra det græske poly og betyder mange eller meget af noget. I dette tilfælde mange nomier. Nomier kommer fra det latinske nomen og betyder navn. Så polynomier betyder mange navne Men her matematisk betyder det flere led. Vi skal snakke en smule om, hvad et led egentlig er. For at få en bedre fornemmelse af, hvad et polynomium er og hvad det ikke er, så lad mig vise nogle eksempler. Bagefter kan vi skrive nogle formelle regler. Et eksempel på et polynomium er 10x⁷ - 9x² + 15x³ + 9. Det er et polynomium. Et andet eksempel på et polynomium er 9 a² - 5. Selv hvis jeg kun har et tal, som 6, så er det officielt et polynomium. Ligeledes med 7x² - 3 -- lad mig bruge en anden variabel -- 7y² - 3 y + π, er også et polynomium. Disse er alle eksempler på polynomier. Lad os se på eksempler, der ikke er polynomier. Hvis jeg omskriver denne eksponent til -7, så får jeg 10x⁻⁷ - 9x² + 15x³ + 9, som ikke er et polynomium. Nu kan du nok fornemme en regel for, hvad der er et polynomium. Du skal have ikke-negative eksponenter for den variable i hvert led. Jeg brugte igen ordet led, så lad mig forklare hvad det er, da det gør det nemmere at forklare, hvad et polynomium er. Et polynomium er noget, der er lavet af en sum af led. I det første polynomium er det første led 10x⁷; det andet led er -9x²; det næste led er 15x³; og det sidste, eller fjerde, led er 9. Lad mig understrege dem. Disse er alle led. Dette er et polynomium med fire led. Du siger måske "Hov, det du skrev med rødt har også 4 led". Så vi skal lave nogle flere regler for, hvad der er et polynomium, især et polynomium med en variabel. Hvert af disse led har en koefficient, som er den ting, der ganges med den variable, der er opløftet til en grad. I dette første led er koefficienten 10. Jeg skriver lige ordet koefficient. Endnu et fint ord, men det betyder blot en ting der ganges med her gange variablen som er x⁷. Den første koefficient er 10. Den næste koefficient -- nu skal jeg være forsigtig -- er minus 9. Vi kigger på koefficienter. Den tredje koefficient er 15. Du kan betragte det fjerde led, eller tal som en koefficient, da vi i stedet for 9 kunne have skrevet 9 x⁰. Så er det lidt tydligere, at det er en koefficient. Et polynomium er summen af et endeligt antal af led, hvor hvert led har en koefficient, som jeg kan repræsentere med A, der ganges med en variabel opløftet i en grad, der er et ikke-negativt heltal. Det her er en koefficient som kan være -- nu vil jeg ikke være for teknisk -- positiv, negativ ja alle reelle tal. Vi har en variabel og eksponenten kan ikke være negativ Et ikke-negativt heltal. Det er grunden til jeg skrev med rødt, da dette ikke er et polynomium, da eksponenten er et negativt heltal. Lad os se på andre eksempler af noget der ikke er polynomier. Hvis jeg ændrer eksponenten i den her og skriver 9a opløftet til en halv minus 5, så er det ikke et polynomium, da eksponenten ikke længere er et heltal. Den er en halv. Det svarer til 9 gange kvadratroden af a minus 5. Det er ikke et polynomium. Eller hvis jeg skrev 9a opløftet til a minus 5, så er det ikke et polynomium, da eksponenten er en variabel og ikke et ikke-negativt heltal. Alle disser er eksempler på polynomier (og ikke-polynomier!). Der er et par ord mere, der er gode at kende. Polynomium betegner et af disse udtryk, der har flere led, et endeligt antal, så det er ikke uendeligt, og hvert led er på denne form. Der er specielle ord, der bruges, når du kun har et, eller to eller tre led. Når der er et led kaldes det en ét-leddet størrelse. Dette er en ét-leddet størrelse. Dette er en ét-leddet størrelse, som vi kan skrive som 6x⁰. Et andet eksempel på en ét-leddet størrelse er 10z¹⁵. Det er også en ét-leddet størrelse. Koefficienten kan også være π. Vi kan skrive π gange b⁵. Alle disse er ét-leddede størrelser. Hvad er en to-leddet størrelse? En to-leddet størrelse har to led. Ét-leddet, et for ét led. To-leddede størrelser har to led. Dette er en to-leddet størrelse. Der er to led. De er alle sammen polynomier, men de kan klassificeres. Det er en to-leddet størrelse, da der er 1, 2 led. Endnu en to-leddet størrelse er 3y³ + 5y. Der er to led, som har denne form. Du vil også høre om tre-leddede størrelser, hvor der er tre led. Dette er et eksempel, der er det første led, det andet led og det tredje led. Du vil støde på begrebet polynomiets grad i forbindelse med polynomier. Du hører måske folk sige, "Hvad er polynomiets grad?" eller "Hvilken grad har dette led i et polynomium?" Lad os starte med graden af et led. Lad os se på dette polynomium. Det første led er 10x⁷. Graden svarer til den eksponent, som der indgår i leddet. Dette led er i syvende grad. Det andet led er i anden grad. Det tredje led er i tredje grad. Dette kaldes for konstantleddet, da det jo blot er 9. Nogen kalder det for konstantleddet, andre kalder det for leddet i nulte grad. Når man snakker om graden af hele polynomiet, så siger man måske, "Hvad er den største grad?" "Hvilket led har den største grad?" Den grad svarer til graden af hele polynomiet. Dette polynomium er i syvende grad. Dette her over er i anden grad, da det har et led i anden grad. som er det led med den højeste grad. Dette er i tredje grad. Et tredjegradspolynomium, da det led med den højeste grad er i tredje grad. Hvis dette siger 5y⁷ i stedet for 5y, så er det et syvende-gradspolynomium. Dette her er en ét-leddet størrelse i 15. grad. Dette er en tre-leddet størrelse i anden grad. Der er et par ting mere, jeg vil vise, nemlig højeste grads leddet og den ledende koefficient. Jeg skriver det lige. Hvad det vil sige at være ledende. Det kan betyde det første led eller koefficient. Hvis du siger, at det ledende led er det første led og hvis du siger den ledende koefficient er koefficienten i det første led, men dette gøres hovedsageligt, når polynomiet er skrevet på standardform. Standardform er, når leddene skrives i faldende rækkefølge efter grad. Det der står her er ikke på standardform, selvom jeg har det led først med den højeste grad, men det næsthøjeste skulle komme bagefter, det er x³, men vi har x² som det næste led. Hvis jeg vil have det på standardform, så bliver det 10x⁷, da det er leddet med den højeste grad. Så 15x³. alstå 15x³, som er næsthøjest. Så -9x², det næste i rækken. Og den laveste grad er ledet plus 9 eller plus 9x⁰. Nu er det på standardform. Jeg har skrevet leddene i faldende rækkefølge med det højeste først. Nu er det tydeligt, hvad højeste leddet er, nemlig 10x⁷, da det er det første led. og den ledende koefficient er tallet 10. Det var en hel del i én video, men forhåbentlig virker hele ideen om polynomier nu mindre skræmmende. Disse ord er meget nyttige, og du vil komme til at bruge dem i matematik fremover.