Introduktion til restsætningen for polynomier

Her kommer en introduktion til restsætningen for polynomier, som nærmest ligner trylleri i starten. I de næste videoer vil vi bevise den og se, som med så mange andre ting i matematik, når du tænker nærmere over det, så er det ikke helt så mystisk. Hvad er restsætningen for polynomier? Hvis vi har polynomiet f(x), som vi divider med x - a, så vil resten fra denne lange division af et polynium være f(a). Jeg ved det ser lidt abstrakt ud lige nu. Jeg snakker om f(x)'er og (x - a)'er. Lad mig gøre det lidt mere konkret. Lad os sige, at f(x) er lig med -- nu finder jeg på et andengradspolynomium -- Dette gælder for alle polynomier. er lig med 3x² - 4x + 7. Lad os sige, a er 1. Vi skal derfor dividere med x -1. a er altså lig med 1. Lad os lave lang division. Sæt videoen på pause. Hvis lang division med polynomier er nyt for dig, så prøv at se videoer om emnet, da jeg antager, at du ved, hvordan man laver lang division med polynomier. 3x² - 4x + 7 divideret med x -1. Lad os se, hvilken rest vi får og om den virkelig svarer til f(1). Jeg antager, du selv har prøvet. Lad os løse opgaven sammen. Lad os dividere 3x² - 4x + 7 med x - 1. En smule lang division med polynomier er aldrig en dårlig start på en dag. Det er morgen hos mig. Jeg ved ikke, hvad det er hos dig. Jeg starter med x-leddet, som er højestegradsleddet, og jeg starter med højestegradsleddet her. Hvor mange gange går x op i 3x²? Det gør det 3x gange. 3x gange x er 3x². Jeg skriver 3x her på første gradspladsen. 3x gange x er 3x². 3x gange -1 er -3x. Nu skal vi trække det fra. Det svarer til almindelig lang division. Hvad får vi? 3x² - 3x², det bliver 0. -4x plus, det er nu plus 3x, ikke? Minus og minus er plus. -4x + 3x er -x. -- jeg bruger lige en ny farve -- Det bliver -x. Så trækker vi 7 ned. Fuldstændig som da du lærte lang division i tredje eller fjerde klasse. Jeg gangede altså 3x med x -1. Jeg får 3x² - 3x, som jeg trækker fra 3x² - 4x og jeg får dette. Eller du kan sige, jeg trak det fra hele polynomiet og får -x + 7. Hvor mange gange går x -1 op i -x + 7? x går op i -x -1 gang. -1 gange x er -x. -1 gange -1 er 1. Nu skal vi trække fra og det bliver vores rest. -x - (-x) som er det samme som -x + x som er 0. Så har vi +7 men ikke +1, da du har denne negative, som du ganger ind. Det bliver derfor -1 og 7 - 1 er 6. Resten er altså 6. Man kan sige, -- nej det gemmer jeg til en anden video -- Dette er resten. Du får en rest -- dette er blot en gennemgang af lang division med polynomier -- når du her har en lavere grad her -- du kan kalde dette et nultegradspolynomium -- dette har en lavere grad end divisoren, altså end x - 1. Dette har en lavere grad, så det er resten. Divisoren går ikke op i det flere gange. Ifølge restsætningen for polynomier, hvis den er korrekt, og jeg valgte et tilfældigt eksempel, -- dette er ikke et bevis men en mere håndgribelig måde at vise, hvad restsætningen for polynomier fortæller os -- Hvis restsætningen er sand, så siger den, at f(a) og a er her 1, så skulle f(1) være lig med 6, altså denne rest. Lad os tjekke det. Det bliver lig med 3 gange 1², som er 3. -4 gange 1, så det bliver -4 + 7. 3 - 4 er -1 plus 7 og det er sørme -- vi fortjener en lille trommesolo -- det er sørme 6. Det ser altså rigtigt ud, i hvertfald i denne opgave. Det ser ud til at restsætningen for polynomier virker. Det nyttige af dette er, hvis nogen siger hvad er resten, hvis jeg dividerer 3x² - 4x + 7 med x -1, Hvis de kun er interesseret i resten? De er ikke interesseret i kvotienten. De vil kun vide, hvad resten er, så kan du svarer, du tager a, som her er 1 og udregner f(1), og du får 6. Du behøver ikke lave alt dette. Du behøver kun gøre dette for at finde ud af resten ved 3x² - 4x + 7 divideret med x - 1.