If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Faktorisering af polynomier ved at finde fælles faktorer

Lær hvordan man faktoriserer en fælles faktor ud af et polynomisk udtryk. For eksempel, faktoriser vi 6x²+10x som 2x(3x+5).

Hvad du bør have styr på inden dette modul

SFF (Største Fælles Faktor) for to, eller flere, led er produktet af alle deres fælles primfaktorer. For eksempel, SFF for 6x og 4x2 er 2x.
Hvis dette er nyt for dig, bør du tjekke artiklen om største fælles faktorer for et-leddede udtryk.

Hvad du kommer til at lære i dette modul

I denne lektion lærer du at finde en fælles faktor i et polynomium og sætte det udenfor parentes.

Den distributive lov: a(b+c)=ab+ac

For at forstå faktorisering - og dermed sætte største fælles faktor udenfor parentes - er vi nødt til at kende og forstå den distributive lov.
For eksempel kan vi bruge den distributive lov til at finde produktet af 3x2 og 4x+3 som vist nedenfor:
3x2(4x+3)=3x2(4x)+3x2(3)
Bemærk, at hvert led i den toleddede størrelse blev ganget med den fælles faktor 3x2.
Den distributive lov kan også bruges den den anden vej!
3x2(4x)+3x2(3)=3x2(4x+3)
Hvis vi starter med 3x2(4x)+3x2(3), kan vi bruge den distributive lov til at faktorisere 3x2 ud og sætte det udenfor parentes, så vi får 3x2(4x+3).
Svaret er nu i faktoriseret form, fordi det er skrevet som et produkt af to polynomier, mens det oprindelige udtryk er en sum af to led.

Tjek din forståelse

Opgave 1
Skriv 2x(3x)+2x(5) i faktoriseret form.
Vælg 1 svar:

Sæt Største Fælles Faktor (SFF) udenfor parentes

For at sætte SFF udenfor parentes i gør vi følgende:
  1. Find SFF for alle led i polynomiet.
  2. Udtryk hvert led som et produkt af SFF og en anden faktor.
  3. Brug den distributive lov til at sætte SFF udenfor parentes.
Lad os sætte SFF udenfor parentes i udtrykket 2x36x2.
Trin 1: Find SFF
  • 2x3=2xxx
  • 6x2=23xx
Så SFF for 2x36x2 er 2xx=2x2.
Trin 2: Udtryk hvert led som et produkt af 2x2 og en anden faktor.
  • 2x3=(2x2)(x)
  • 6x2=(2x2)(3)
Så polynomiet kan skrives som 2x36x2=(2x2)(x)(2x2)(3).
Trin 3: Sæt SFF udenfor parentes
Nu kan vi bruge den distributive lov til at faktorisere 2x2 ud.
2x2(x)2x2(3)=2x2(x3)
Tjek af resultatet
Vi kan tjekke vores faktorisering ved at gange 2x2 tilbage i polynomiet.
2x2(x3)=2x2(x)2x2(3)
Da vi får det oprindelige polynomium, er vores faktorisering korrekt!

Tjek din forståelse

Opgave 2
Faktorisér største fælles faktor for 12x2+18x ud.
Vælg 1 svar:

Opgave 3
Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.
10x2+25x+15=

Opgave 4
Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.
x48x3+x2=

Kan vi gøre det mere effektivt?

Hvis du føler dig tryg med processen omkring at faktorisere SFF ud, kan du bruge en hurtigere metode:
Når vi først kender SFF, er den faktoriserede form produktet af SFF og summen af leddene i det oprindelige polynomium divideret med SFF.
Se f.eks. hvordan vi bruger denne metode til hurtigt at faktorisere 5x2+10x, hvor SFF er 5x:
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)

To-leddede udtryk som fælles faktor

Den fælles faktor i et polynomium behøver ikke at være et enkelt led.
Tag f. eks. polynomiet x(2x1)4(2x1).
Bemærk, at den toleddede størrelse 2x1 er fælles for begge led. Så vi kan faktorisere det ud ved at bruge den distributive lov:
x(2x1)4(2x1)=(x4)(2x1)

Tjek din forståelse

Opgave 5
Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.
2x(x+3)+5(x+3)=

Forskellige former for faktorisering

Du synes muligvis, at vi har brugt ordet "faktorisering" til at beskrive flere forskellige processer:
  • Vi faktoriserede enkelte led ved at skrive dem som et produkt af andre et-leddede udtryk. For eksempel 12x2=(4x)(3x).
  • Vi faktoriserede SFF ud af polynomier ved hjælp af den distributive lov. For eksempel 2x2+12x=2x(x+6).
  • Vi faktoriserede fælles toleddede faktorer ud, som resulterede i et udryk, der er et produkt af to toleddede udtryk. For eksempel:
x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)
Selv om vi har brugt forskellige metoder, har de alle det til fælles, at de blevet skrevet som et produkt af to eller flere faktorer. Så i alle tre eksempler, faktoriserer vi polynomiet.

Udfordrende opgaver

Opgave 6
Faktorisér største fælles faktor ud for nedenstående polynomium.
12x2y530x4y2=

Opgave 7
Et stort rektangel med et areal på 14x4+6x2 kvadratmeter er opdelt i to mindre rektangler med arealer på 14x4 og 6x2 kvadratmeter.
Bredden på rektanglet (i meter) er lig med den største fælles faktor for 14x4 og 6x2.
Hvad er længden og bredden af det store rektangel?
Bredde=
meter
Længde=
meter

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.