Introduktion til geometriske talrækker

I denne video skal vi lære om geometriske talrækker. Jeg vil illustrere med en tabel, der viser hvordan vores penge vokser, hvis vi indsætter 1000 dollars på en konto hvert år. Her har vi År - begyndelsen af et år og her har vi Saldoen i dollars. Lad os sige, at banken er villig til at give os 5%, hvilket er ret godt. Det er ikke nemt at finde en bank, hvor du får en 5% rente per år. Det betyder, hvis du indsætter 100 dollars, så vil der præcis et år senere være 105 dollars. Hvis du indsætter 1000 dollars, så vil der et år senere være 1050. Der er 5% mere. Lad os sige, vi indsætter 1000 dollars per år, og jeg vil gerne vide, hvad min saldo er i begyndelsen af år 1, af år 2, af år 3, og dernæst skrive et generelt udtryk for begyndelsen af år n. I begyndelsen af år 1 indsætter jeg 1000 dollars på kontoen. Det er lige ud af landevejen. Men hvad sker der i år 2? Jeg indsætter 1000 dollars, men de oprindelige 1000 dollars er vokset. Så jeg indsætter 1000 dollars, og de oprindelige 1000 dollars, som jeg indsætte i begyndelsen af år 1 er vokset med 5%. At vokse med 5% svarer til at gange med 1,05. Det vil nu være + 1000 dollars gange 1,05. Stadig forholdsvis lige til. Hvad med i begyndelsen af år 3? Hvor mange penge har jeg på kontoen, lige når jeg har indsat beløbet for år 3? Sæt videoen på pause og se, om du kan finde ud af det. Ligesom i begyndelsen af år 2, og i begyndelsen af år 1, så bliver der indsat 1000 dollars. men beløbet fra år 2 er vokset med 5%, så det er nu 1000 gange 1,05. Det beløb vi indsatte i år 1, som var 1000 gange 1,05 i år 2, er nu igen vokset med 5%, så det bliver + 1000 gange 1,05 gange 1,05. Det er vokset med endnu 5%. Vi kan omskrive denne del her til 1,05². Kan du se mønstret? Når du kommer til år n -- nej, stop videoen igen og se om du kan skrive et udtryk, hvor vi springer disse prikker over. Se om du kan skrive et udtryk for år n. I år n vil du indsætte 1000 dollars. Du vil have 1000 gange 1,05 for de 1000, du indsatte i begyndelsen af år n - 1. Det vil fortsætte på samme måde helt op til + 1000 gange 1,05 opløftet til det antal år, som du har haft pengene i banken. Disse 1000 er dem du indsatte i år 1. Hvor mange år har de trukket rente? Når du går fra 1 til 2, så er det 1 år. Når du går fra 1 til 3, så er det 2 år. Når vi snakker om begyndelsen af år n, så bliver eksponenten én mindre end det. Eksponenten bliver n - 1. For hver række kan vi spørge, hvor mange penge har vi på kontoen i begyndelsen af år 3? Hvor mange penge har vi på kontoen i begyndelsen af år n? Disse er geometrisk talrækker. -- nu skriver jeg lige ordet -- Geometrisk talrække. En hurtig gennemgang enten af noget du kender eller af noget nyt. Talrækker hører sammen med talfølger. Talrækker er summen af talfølger. -- lad mig lave lidt mere plads -- En talfølge er en samling af tal ordnet på en bestemt måde. I denne geometriske talfølge er hvert led det foregående led gange et konstant tal. Hvis vi starter med 2 og for hvert led ganger vi med 3. Så vi går fra 2 til 2 gange 3, så 6. 6 gange 3 er 18. 18 gange 3 er 54. Dette er en geometrisk talfølge, tal i en bestemt rækkefølge. Den geometriske talrække, der hører til, er summen af alle disse led. Den er 2 + 6 + 18 + 54. Vi kan endda skrive det, så det ligner vores eksempel med sammensat rente, som 2 + 2 gange 3 + 2 gange 3² + 2 gange 3³. I en geometrisk talrække har du en sum, hvor hvert på hinanden følgende led i udtrykket er lig med leddet før det gange en konstant. Det andet led er lig det første led gange 3 og så lægger vi dem sammen. I en talfølge er det blot tal. Det er en liste i rækkefølge, men her lægges tallene i listen sammen. Det vi så her i dette eksempel er en geometrisk talrække, et kendt eksempel på, hvorfor de er nyttige. Her snusede vi blot til emnet. Hvis du lærer mere om finans eller økonomi, så vil du støde på geometriske talrækker alle mulige steder.