Tekstopgave med geometrisk talrække: vandretur

Vi får at vide, at Sloan er taget på en 4-dages vandretur. Hver dag gik hun 20% længere end hun gjorde dagen før. Hun gik i alt 27 kilometer. Hvor langt gik Sloan den første dag? Svaret skal afrundes til nærmeste hele kilometer. Som altid, prøv selv at finde ud af, hvor langt gik hun den første dag? Okay, lad os kalde den afstand, hun gik den første dag, for a. Lad os bruge a til at skrive et udtryk for, hvor langt hun gik i alt, som skal være lige med 27. Dernæst kan vi forhåbentlig isolere a. Den første dag gik hun a kilometer. Hvad med den anden dag? Vi får at vide, at hun gik 20% længere end hun gjorde dagen før. Den anden dag gik hun altså 20% længere end a kilometer, som er 1,2 gange a. Hvad med den næste dag, den tredje dag? Det bliver 1,2 gange så langt som den anden dag. Det bliver 1,2 gange 1,2, altså 1,2² gange a. Hvor langt den fjerde dag? Turen varede 4 dage, så det er den sidste dag. Det bliver 1,2 gange den tredje dag. Det bliver 1,2³ gange a. Dette er et udtryk for, hvor langt hun gik på de fire dage. Vi ved, hun i alt gik 27 kilometer. Udtrykket er derfor lig med 27 kilometer. Nu kunne du isolere a. Du kunne sætte a udenfor parents. Det bliver a (1 + 1,2 + 1,2² + 1,2³) er lig med 27. Du kunne omskrive til a er lig med 27 over (1 + 1,2 + 1,2² + 1,2³). Vi skulle så bruge en lommeregner for at udregne det. Jeg vil bruge en anden strategi. En strategi, der virker selv, hvis du havde 20 led her. Du kunne også have gjort dette med 20 led, men det bliver meget kompliceret, eller med 200 led. Den anden strategi er at bruge sumformlen for en endelig geometrisk talrække. Hvad udregner den? Summen af de første n led er lig med det første led, som vi kalder a, minus det første led gange den gennemgående faktor, som her er 1,2. Da hver på hinanden følgende led er 1,2 gange det forrige. Det første led gange den gennemgående faktor i n'te potens alt det over 1 minus den gennemgående faktor. I andre videoer har vi snakket om, hvor den kommer fra. Vi har bevist den. Her skal vi blot bruge den. Vi ved, hvad a er, jeg brugte den som vores variabel. Den gennemgående faktor er 1,2. n er lig med 4. Man kan også sige, at det er første led minus det led vi ikke er nået til. Hvis der var et femte led, så er det dette femte led vi trækker fra, da vi ikke kommer til fjerde potens her. Det femte led ville have været i fjerde potens. Alt dette over 1 minus den gennemgående faktor. Den venstre side af ligningen kan vi omskrive til a - a(1,2⁴) alt dette over 1 - 1,2 og det er lig 27. Lad mig lige køre lidt nedad, så vi har lidt mere plads. Jeg kan reducere lidt her. Dette bliver lig med -0,2. I tælleren kan vi sætte a udenfor parentes. Det bliver lig med a (1-1,2⁴) Nu kan vi gange både tæller og nævner med -1 som giver a gange -- jeg fjerner a fra brøken og bytter rundt på rækkefølgen, for at fjernde dette minustegn -- så, a(1,2⁴ - 1 over 0,2) er lig med 27. Det jeg gjorde var at fjerne a fra brøken, så den er her ude. Så gangede jeg tæller og nævner med -1. Tælleren gange -1 bytter disse to rundt. -0,2 gange -1 er plus 0,2. Nu kan jeg gange begge sider med det reciprokke af dette. Det gør jeg her 0,2 over 1,2⁴ - 1 og her 0,2 over 1,2⁴ - 1. De går ud med hinanden, som er, hvorfor jeg gjorde det. Tilbage har vi, at a er lig med -- jeg skriver med gult -- 27 gange 0,2 alt det over 1,2⁴ - 1. Dette udtryk vil give os præcis den samme værdi som før, men det er mere nyttigt, hvis vi havde 100 led. Nu tager jeg lommeregneren frem. Det bliver ... Jeg vil lige udregne nævneren først. Jeg har 1,2⁴ - 1. Da det er i nævnere, så jeg kan blot tage det reciprokke og gange det med 27 gange 0,2. Det er lig med 5,029. Vi skal afrunde til nærmeste kilometer, så det bliver omkring 5 kilometer. Det er den afrundet værdi, for hvor langt hun gik på den første dag af sin vandretur.