Introduktion til faktorisering af polynomier af højere grad

Da vi begyndte at lære om algebra, så lærte vi at faktorisere polynomier, især andengradspolynomier. Vi lærte, at et udtryk som x² kan skrives som x gange x. Vi lærte også, at et polynomium som 3x² + 4x, hvor begge led har en fælles faktor x, at du kan sætte den udenfor og skrive det som x (3x + 4). Vi lærte også mere smarte ting, som at faktorisere x² + 7x +12. Vi lærte at se, om der er to tal med en sum på 7, som du kan gange og få 12. I disse tidligere videoer så vi, hvorfor det virker. Vi har 3 og 4, så måske vi kan faktorisere som (x + 3) (x + 4). Hvis dette er nyt for dig, opfordrer jeg dig til at gennemgå noget introduktion til faktorisering af andengradspolynomier her på Khan Academy. Dette burde være en gennemgang af noget du har set før. Vi har også set på kvadratet af en differens. x² - 9 Vi ved, det er x² - 3², som kan faktoriseres som (x + 3) (x - 3). Vi så også på andre typer. Når vi nu fortsætter vores rejse ind i algebraens verden, så skal vi bygge videre på dette for at lære at faktorisere polynomier af højere grader. Tredje grad, fjerde grad, femte grad. Alt sammen noget der er nyttigt i jeres matematiske karrierer. Vi skal starte med at se på opbygningen og mønstre, som vi allerede kender fra introduktion til algebra. For eksempel, hvis nogen kommer hen til dig på gaden og siger, kan du faktorisere x³ + 7x² + 12x? Først vil du så sige: Oh det er jo et tredje gradspolynomium, så det er en smule skræmmende, indtil du indser, at alle disse led har fælles faktoren x, som kan sættes udenfor, så det bliver x ( x² + 7x + 12). Dette er præcis, hvad vi har her, så vi kan omskrive alt dette til x (x + 3) (x + 4). Vi skal lære, at vi kan lave nemme faktoriseringer som disse og faktorisere flere gange. Vi skal også begynde at værdsætte opbygningen som igen er noget vi så på i introduktion til algebra. For eksempel du ser måske noget som dette her. Nogen kommer igen hen til dig på gaden og siger, kan du faktoriserer dette a⁴ + 7a² + 12. Så først tænker du: Øh, der er noget i fjerde her. Hvad gør jeg? Så indser du, at dette kan omskrives til (a²)² + 7a² + 12. Nu ligner dette a² her ret meget dette x herover. Hvis dette var et x, så ville det være x². Hvis dette var et x, så ville dette blot være x. Og disse to udtryk ville være de samme. Når jeg faktoriserer det, hver gang jeg ser et x, så erstatter jeg det med a². Jeg kan faktoriserer det sådan, fordi det har samme opbygning. Vi har (a² + 3) (a² + 4). Nu går jeg lidt hurtigt frem, da dette er en intro video. Hvis dette går lidt stærkt, så er det for at give dig en ide om, hvad der sker. Senere i dette emne, skal vi se nærmere på hvert af disse tilfælde. For at give dig en ide om, hvor vi skal hen med dette, så er her endnu et eksempel, der bygger på noget fra introduktion til algebra. Hvis vi bruger denne opbygning, hvis nogen igen kommer hen til dig, -- det er der åbenbart mange der gør -- og siger faktoriser 4x⁶ - 9y⁴. Igen så ser det ret skræmmende ud. Indtil du indser, at du kan omskrive dem begge som kvadratet på noget. Du kan skrive det første led som (2x³)² minus -- Du kan skrive det andet led som (3y²)². Dette er det samme som den tredje kvadratsætning, så vi får (2x³ + 3y²) (2x³ - 3y²). Vi skal lære om noget som dette, hvor vi skal faktorisere flere gange. Igen nogen kommer hen til dig og -- ja du er meget populær -- kommer hen til dig på gaden og siger faktoriser x⁴ - y⁴. Ud fra hvad vi lige så, så kan du se, at dette er det samme som (x²)² - (y²)², som er tredje kvadratsætning, ligesom det var her. så det bliver (x² + y²) (x² - y²). Det sjove er, at fordi dette også er kvadratet på en differens, så kan du omskrive det igen til -- jeg skriver lige den første del igen (x² + y²) -- og så kan vi faktorisere dette som kvadratet af en differens. Vi får (x + y) (x - y). Det er vist nok for i dag. Jeg har lige bombarderet dig med information, men dette er egentlig blot en opvarmning. Så du skal ikke stresse over det, da vi skal snakke mere om hver af disse og der bliver mange chancer for at øve sig her på Khan Academy, så du er sikker på, du har forstået, hvordan man gør. God fornøjelse.