Brug af identiteter med polynomier til at beskrive sammenhæng mellem tal

I denne video skal vi bruge, hvad vi ved om polynomier og omskrivning af dem samt det vi har lært om hvorvidt to polynomier er lige hinanden for alle værdier af de variable, der indgår i dem, altså om vi har en identitet. Vi skal bruge nogle af disse færdigheder til at bevise nogle egenskaber ved sammenhænge mellem tal. Hvis jeg laver en liste med heltal, som 0, 1, 2, 3 4 og 5 Dernæst laver jeg en liste over kvadratet på dem, altså en talfølge af kvadratet på heltal. 0 kvadreret er 0. 1 kvadreret er 1. 2 kvadreret er 4. 3 kvadreret er 9. 4 kvadreret er 16. 5 kvadreret er 25. Vi kan naturligvis forlænge begge lister. Inden du skriver et polynomium, eller forsøger på at gøre, skal du kigge på denne talfølge af heltal kvadreret. Kan du se et mønster i forskellen mellem efterfølgende led? Okay, lad os løse opgaven sammen. Når du går fra 0 til 1, så lægger du 1 til. Når du går fra 1 til 4, så lægger du 3 til. Når du går fra 4 til 9 så lægger du 5 til. Når du går fra 9 til 16, så lægger du 7 til. Det lader til, der er et mønster her. Når vi går til det næste led i denne talfølge af kvadratet på heltal, så lægges et stadig større ulige tal til. Jeg gætter på, hvis jeg lægger 9 til her, som er det næste lige tal, så får jeg 25. Det gør jeg sørme. Du kan selv tjekke. Hvis jeg lægger 11 til, som er det næste ulige tal, hvilket tal får jeg så? Jeg får 36, som er kvadratet af 6. Hvordan kan vi vide, det altid er sådan? At det forsætter? Man kan prøve at tænke lidt mere generelt, og det er her vores viden om algebra og polynomier er vældig nyttig. Lad os sige vi går hele vejen -- og nu vi snakker helt generelt -- så til tallet n, og det næste tal er derfor n +1. Hvad er de tilsvarende led i talfølgen af heltal kvadreret? Vi skal tage tallet kvadreret, så får vi n². Når vi kommer til n + 1, så får vi (n + 1)². Hvad er differensen mellem disse to led? Forskellen mellem 25 og 16 er 9. Forskellen mellem 16 og 9 er 7. Hvad er forskellen mellem (n + 1)² og n² ? Hvordan skriver det som et polynomium? Det bliver blot (n + 1)² - n². Lad omskrive dette med algebra, så vi kan skrive en identitet med polynomier, der beskriver, det mønster vi har set. Jeg vil gange (n + 1)² ud. Det bliver n² + 2n + 1. Så skal vi huske denne -n², så -n². Vi kan se, at n² og - n² går ud med hinanden. Vi kan omskrive det hele til (n + 1)² - n². Forskellen mellem to på hinanden følgende led i vores talfølge af kvadratet på heltal er lig med 2n +1 for alle heltal af n. For alle heltal n. Hvad bliver så 2n +1? Især her, hvor vi har positive heltal. For alle heltal af n, så bliver dette et ulige heltal. Hvis du tager et vilkårligt heltal og ganger det med 2, så bliver denne del her lige. Men så lægger du 1 til, og du får et ulige heltal. Du kan også se, at dette stiger med 2, når n stiger. Når du går fra et ulige heltal, så skal du lægge 2 til det næste ulige heltal. Du lægger 2 til det næste ulige heltal, som er præcis, hvad der er beskrevet der. Det er da temmelig sejt. Vi brugte blot en smule algebra, en lille smule af hvad vi ved om identiteter med polynomier til at vise at forskellen mellem på hinanden følgende led i denne talfølge af kvadratet på heltal bliver voksende ulige tal.