Introduktion til ende-adfærd for polynomier

I denne video vil jeg snakke lidt om polynomier og deres ende-adfærd. Det er egentlig blot, hvad der sker med et polynomium, når x bliver meget stor eller meget meget meget negativ. Vi kender allerede andengradspolynomier, hvor y = ax² + bx + c. Hvis vi ved, at a er større end 0, så bliver det en eller anden form for parabel med åbningen opad. Grafen for denne ligning eller funktion kommer til at se således ud. Hvis a er mindre end 0, så bliver det en parabel, der vender nedad. Vi har brugt mindre tid på tredjegradspolynomier, men vi har set lidt på dem. Hvis du har et tredjegradspolynomium, y = ax³ + bx² + cx + d. Hvis a er større end 0 og x er meget meget meget negativ, så bliver denne meget meget meget negativ. Den vokser, når x bliver mindre negativ. Måske sådan her med lidt fikse ting ind imellem. Når x bliver mere og mere positiv, så bliver grafen også mere og mere positiv. Det ser måske således ud, når a er større end 0. Men hvad nu, hvis a er mindre end 0? Så skal vi vende den. Hvis a er mindre end 0 og x er meget negativ, så ganger du det med et negativt a og du får en positiv værdi. Det vil nogenlunde således ud. Den laver måske lidt fiksfakserier ind i mellem. Dens ende-adfærd vil være, at den aftager igen. Når vi snakker om ende-adfærd, så mener vi, hvad gør denne funktion, når x bliver meget meget meget meget positiv og når x bliver meget meget meget meget negativ? Vi ved der er noget mærkelige i midten, men det drejer sig om, hvad der sker ved de meget store værdier af x. Tydeligvis for et andengradspolynomium, så sker der ikke noget mærkeligt i midten, men for et tredjegradspolynomium, der kan vi begynde, at se fikse ting i midten. Ende-adfærd for et tredjegradspolynomium hvis a er større end 0, så starter vi med meget små værdier. og når x bliver positiv, så får vi meget store værdier. Hvis a er mindre end 0, så ser vi det modsatte. Disse to er de to typiske eksempler af polynomier. Med dem kan vi begynde at se på polynomier af enhver anden grad. Lad os se på et fjerde gradspolynomium. Lad os sige y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + -- jeg vil ikke bruge e, da det betyder noget andet i matematik, men jeg er ved at løbe tør for bogstaver, men nu bruger jeg f, som ikke betyder funktionen f men blot en konstant -- Lad os overveje, hvordan det ser ud? Hvad er dets ende-adfærd? Vi kan sammenligne den med et andengradspolynomium. Når x er meget meget meget meget negativ, så bliver x⁴ positiv. Hvis a er større end 0 og x er meget meget meget negativ, så bliver det en meget meget meget positiv værdi, ligesom når graden er to. Når x er meget positiv, så sker det samme, x⁴ bliver positiv og gange a er stadig positiv. Så dens ende-adfærd vil ligne den for et andengradspolynomium. Den vil nok lave nogle fiksfakserier i midten. Den kan gøre noget sådan i midten. Men vi er kun interersseret i ende-adfærd. Man kan kalde dette med prikker dens ikke-ende-adfærd, dens midter-adfærd. Den vil naturligvis være forskellig fra den af et andengradspolynomium. Men i enderne sker det samme. Når du tager kvadratet på noget, eller opløfter noget i fjerde potens, når du opløfter noget i en lige potens, så længe a er større end 0, så vil du få meget store positive værdier få positive værdier. Og for meget negative værdier vil du få meget store positive værdier. Du tager et negativt tal i fjerde potens, eller i anden potens, så får du en positiv værdi. På samme måde, hvis a er mindre end 0, så får du den samme ende-adfærd som her. Når højestegradsleddet er lige og a er mindre end 0, og x er meget meget meget negativ, så bliver dette meget meget meget positivt, men det ganger vi så med a, som er negativ og det bliver meget meget meget negativt. Så det vil således ud. På samme måde, når x er meget meget positiv, så får du det samme. da du ganger en positiv med a, som er negativ. og ind i mellem gør det måske således. Men dets ende-adfærd vil altid være ligne den for et andengradspolynomium. Hvis du ignorerer dette, så ligner dets ende-adfærd. Det samme gælder, hvis graden er 5 sammenlignet med 3. Ideen er den samme, nemlig, hvad sker der med værdien for meget store positive og negative værdier af x? Når det er en lige potens, uanset om det er meget negative værdier eller meget positive værdier, så får vi positive værdier. Hvis a er mindre end 0, er det omvendt. Men lad os se på en ulige potens. Jeg skriver det lige på formen y = ax⁵ + bx⁴ + og det fortsætter, men jeg behøver vist ikke skrive det hele. Hvis a er større end 0, så vil det se således ud. Dets ende-adfærd vil ligne den for et tredjegradspolynomium, hvor a er større end 0. Den vil ende hernede, og den vil gøre alt muligt fjollet som dette i midten. Men igen for meget store x'er, så vil den ligne ax³, når a er større end 0. Dets ende-adfærd ligner, når a er større end 0, og dets ende-adfærd ligner, når a er mindre end 0. Den vil se således ud. For negative værdier vil den være positiv, fordi denne del er negativ, men den ganges med en negativ så den bliver positiv. For meget positive værdier af x, så bliver den negativ, fordi dette a-led bliver negativ. Hvad den gør i midten, i hvertfald i denne video, det er vi ikke interesserede i. Det du skal have lært her, --- en lille trommesolo -- når vi snakker om ende-adfærd, hvis du har et polynomium med en lige grad så vil dets ende-adfærd ligne den for et andengradspolynomium Du kan ignorere det der sker i midten. Det der sker ved meget negative og meget postive værdier af x vil ligne det der sker med et andengradspolynomium. Hvis du har en ulige grad, så vil du have en ende-adfærd, der ligner den for et tredjegradspolynomium. Du ser måske alt muligt fjollet i midten, men for et givet a, uanset om det er mindre eller større end 0, så vil dets ende-adfærd være således eller således.