Hovedindhold
Algebra 2
Emne: (Algebra 2 > Emne 5
Modul 4: Opsamling på grafer for polynomierGrafer for polynomier
Analyse af polynomier for at skitsere deres graf.
Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion
Ende-adfærden for funktionen f beskriver, hvordan grafen for funktionen ser ud i hver "ende" af x-aksen. Man kan bestemme funktionens ende-adfærd algebraisk ved at besvare følgende to spørgsmål:
- Når x, right arrow, plus, infinity, hvad går f, left parenthesis, x, right parenthesis mod?
- Når x, right arrow, minus, infinity, hvad går f, left parenthesis, x, right parenthesis mod?
Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Polynomiers ende-adfærd.
Nulpunkterne i funktionen f svarer til skæring med x-aksen. Når multipliciten af et nulpunkt er et ulige tal, så vil grafen skære x-aksen i dette nulpunkt. Tilsvarende når multipliciten af et nulpunkt er et lige tal, så vil grafen røre x-aksen i dette nulpunkt.
Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Nulpunkter i polynomier og deres grafer.
Hvad du kan lære i dette modul
I denne artikel skal vi bygge videre på ovenstående viden til at skitsere grafer for polynomier og bruge disse skitser til at bestemme de intervaller, hvor polynomiets funktionsværdi er positiv eller negativ.
Analyse af polynomielle funktioner
Lad os analysere forskellige egenskaber ved grafen for polynomiet f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
Skæring med y-aksen
Man bestemmer skæring med y-aksen af grafen for f ved at udregne f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
Grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis har skæring med y-aksen i punktet left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.
Skæring med x-aksen
Man bestemmer skæring med x-aksen ved at løse ligningen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
Grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis har skæring med x-aksen i punkterne left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis og left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Ydermere, kan vi ud fra forskriften se, at start fraction, 2, divided by, 3, end fraction er et nulpunkt med en multiplicitet på 1 og minus, 2 er et nulpunkt med en multiplicet på 2. Vi ved derfor, at grafen vil skære x-aksen i punktet left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, men røre x-aksen i punktet left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Analyse af ende-adfærd
Funktionens ende-adfærd kan bestemmes ved at bruge højestegradsleddets grad og fortegn, når forskriften er skrevet på strandardform.
Lad os derfor omskrive forskriften til standardform.
Polynomiets højestegradsled er start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10. Derfor vil f have samme ende-adfærd som den ét-leddet størrelse 3, x, cubed.
Graden er ulige og koefficienten er positiv. Derfor har f følgende ende-adfærd: når x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity og når x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Skitsering af grafen
Nu kan vi bruge disse egenskaber til at skitsere grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Lad os først bruge grafens ende-adfærd:
- Når x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
- Når x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Det betyder, at i "enderne" vil grafen se ud som grafen for ligningen y, equals, x, cubed.
Nu kan vi tilføje, hvad vi ved om skæring med x-aksen:
- Grafen rører x-aksen i left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, da minus, 2 er et nulpunkt med en lige multiplicitet.
- Grafen skærer x-aksen i left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, da start fraction, 2, divided by, 3, end fraction et nulpunkt med en ulige multiplicitet.
Til sidst afbilder vi skæring med y-aksen i left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis og fylder mellemrummene ud med en blød uafbrudt kurve.
Vi skal huske, dette er en skitse af grafen ikke dens præcise beliggenhed og form. Men skitsen giver os en god fornemmelse af funktionens opførsel.
Positive og negative intervaller
Nu da vi har skitseret grafen for f, er det nemt at bestemme i hvilke intervaller f er positiv og i hvilke den er negativ.
Vi kan aflæse, at f er positiv, når x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction og negativ, når x, is less than, minus, 2 eller minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.
Tjek din forståelse
1) Du skal nu skitsere grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis trin for trin.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.