If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 4: Opsamling på grafer for polynomier
Matematik
Algebra 2
Grafer for polynomier
Opsamling på grafer for polynomier
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Grafer for polynomier

Google Classroom
Analyse af polynomier for at skitsere deres graf.

Hvad du bør vide, inden du går igang med denne lektion

Ende-adfærden for funktionen f beskriver, hvordan grafen for funktionen ser ud i hver "ende" af x-aksen. Man kan bestemme funktionens ende-adfærd algebraisk ved at besvare følgende to spørgsmål:
  • Når x, right arrow, plus, infinity, hvad går f, left parenthesis, x, right parenthesis mod?
  • Når x, right arrow, minus, infinity, hvad går f, left parenthesis, x, right parenthesis mod?
Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Polynomiers ende-adfærd.
Nulpunkterne i funktionen f svarer til skæring med x-aksen. Når multipliciten af et nulpunkt er et ulige tal, så vil grafen skære x-aksen i dette nulpunkt. Tilsvarende når multipliciten af et nulpunkt er et lige tal, så vil grafen røre x-aksen i dette nulpunkt.
Hvis dette er nyt for dig, anbefaler vi, at du tjekker vores artikel Nulpunkter i polynomier og deres grafer.

Hvad du kan lære i dette modul

I denne artikel skal vi bygge videre på ovenstående viden til at skitsere grafer for polynomier og bruge disse skitser til at bestemme de intervaller, hvor polynomiets funktionsværdi er positiv eller negativ.

Analyse af polynomielle funktioner

Lad os analysere forskellige egenskaber ved grafen for polynomiet f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.

Skæring med y-aksen

Man bestemmer skæring med y-aksen af grafen for f ved at udregne f, left parenthesis, 0, right parenthesis.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(0)=(3(0)−2)(0+2)2f(0)=(−2)(4)f(0)=−8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3(\tealD 0)-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= (-2)(4)\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
Grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis har skæring med y-aksen i punktet left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis.

Skæring med x-aksen

Man bestemmer skæring med x-aksen ved at løse ligningen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)20=(3x−2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
↙↘3x−2=0ellerx+2=0Nulreglenx=23ellerx=−2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{eller}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{Nulreglen}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{eller}\qquad x&=-2\end{aligned}
Grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis har skæring med x-aksen i punkterne left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis og left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.
Ydermere, kan vi ud fra forskriften se, at start fraction, 2, divided by, 3, end fraction er et nulpunkt med en multiplicitet på 1 og minus, 2 er et nulpunkt med en multiplicet på 2. Vi ved derfor, at grafen vil skære x-aksen i punktet left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, men røre x-aksen i punktet left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis.

Analyse af ende-adfærd

Funktionens ende-adfærd kan bestemmes ved at bruge højestegradsleddets grad og fortegn, når forskriften er skrevet på strandardform.
Lad os derfor omskrive forskriften til standardform.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(x)=(3x−2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x−2x2−8x−8f(x)=3x3+10x2+4x−8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
Polynomiets højestegradsled er start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10. Derfor vil f have samme ende-adfærd som den ét-leddet størrelse 3, x, cubed.
Graden er ulige og koefficienten er positiv. Derfor har f følgende ende-adfærd: når x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity og når x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

Skitsering af grafen

Nu kan vi bruge disse egenskaber til at skitsere grafen for ligningen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Lad os først bruge grafens ende-adfærd:
  • Når x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • Når x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Det betyder, at i "enderne" vil grafen se ud som grafen for ligningen y, equals, x, cubed.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Noget af en graf er afbildet. En delvis graf kommer op fra venstre i den tredje kvadrant og er mærket når x går mod minus uendelig, så går f af x går mod minus uendelig. En delvis graf er vist i første kvadrant. Den går opad og er mærket når x går mod plus uendelig, så går f af x går mod plus uendelig.
Nu kan vi tilføje, hvad vi ved om skæring med x-aksen:
  • Grafen rører x-aksen i left parenthesis, minus, 2, comma, 0, right parenthesis, da minus, 2 er et nulpunkt med en lige multiplicitet.
  • Grafen skærer x-aksen i left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, comma, 0, right parenthesis, da start fraction, 2, divided by, 3, end fraction et nulpunkt med en ulige multiplicitet.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 2 komma 0 og 2 tredjedele komma 0 samt skæring med x aksen. Noget af en graf er afbildet. En delvis graf kommer op fra venstre i den tredje kvadrant. En delvis graf er vist ved x er lig minus 2, hvor den går op og rører x aksen inden den går nedad igen. En delvis graf er vist ved x er lig 2 tredjedele, hvor den går skærer x aksen og fortsætter opad. En delvis graf er vist i første kvadrant. Den går opad.
Til sidst afbilder vi skæring med y-aksen i left parenthesis, 0, comma, minus, 8, right parenthesis og fylder mellemrummene ud med en blød uafbrudt kurve.
Vi skal huske, dette er en skitse af grafen ikke dens præcise beliggenhed og form. Men skitsen giver os en god fornemmelse af funktionens opførsel.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. Tre punkter er afbildet. To af dem ligger på x aksen og er mærket minus 2 komma 0 og 2 tredjedele komma 0. Det tredje ligger på y aksen og er mærket 0 komma minus 8 samt skæring med y aksen. Noget af en graf er afbildet. En delvis graf kommer op fra venstre i den tredje kvadrant. En delvis graf er vist ved x er lig minus 2, hvor den går op og rører x aksen inden den går nedad igen. En delvis graf er vist ved x er lig 2 tredjedele, hvor den går skærer x aksen og fortsætter opad. En delvis graf er vist i første kvadrant. Den går opad. De fire delvise grafer er forbundet med en blød stiplet kurve.

Positive og negative intervaller

Nu da vi har skitseret grafen for f, er det nemt at bestemme i hvilke intervaller f er positiv og i hvilke den er negativ.
Et koordinatsystem er vist. Akserne har ingen markeringer. To punkter er afbildet. De ligger begge på x aksen og er mærket minus 2 komma 0 og 2 tredjedele komma 0. En lodret stiplet linje går gennem hvert punkt. Grafen kommer op fra venstre rører x aksen ved minus 2 komma 0 vender og går nedad, vender igen og går opad gennem 2 tredjedele komma 0 og fortsætter opad. Fra minus uendelig til minus 2 ligger grafen under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra minus 2 til 2 tredjedele ligger grafen stadig under x aksen og er mærket med et minus tegn. Fra 2 tredjedele til uendelig ligger grafen over x aksen og er mærket med et plus tegn.
Vi kan aflæse, at f er positiv, når x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction og negativ, når x, is less than, minus, 2 eller minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Tjek din forståelse

1) Du skal nu skitsere grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis trin for trin.
a) Hvor har grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis skæring med y-aksen?
left parenthesis, 0,
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) Hvilken ende-adfærd har grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

c) Hvor har grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis skæring med x-aksen?
Vælg 1 svar:

d) Hvilken af nedenstående grafer kunne være grafen for g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

2) Hvilken af nedenstående grafer kunne være grafen for ligningen y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.