If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 2: Positive og negative intervaller for polynomier
Matematik
Algebra 2
Grafer for polynomier
Positive og negative intervaller for polynomier
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Nulpunkter i polynomier og deres grafer

Google Classroom
Lær om sammenhængen mellem polynomiers nulpunkter, rødder og skæring med x-aksen. Vi skal ligeledes lære om nulpunkternes multiplicitet.

Hvad du kan lære i dette modul

Når du arbejder med polynomier bruger du ord og begreber som nulpunkter, rødder, faktorer og skæring med x-aksen.
I denne lektion skal vi lære, hvilke sammenhænge der er mellem disse begreber og polynomiernes egenskaber.

Grundlæggende egenskaber ved polynomier

For polynomiet f og det reelle tal k betyder følgende udsagn det samme:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 er en rod, altså en løsning til ligningen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 er et nulpunkt i funktionen f
  • Grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis har skæring med x-aksen i punktet left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 er en lineær faktor i f, left parenthesis, x, right parenthesis
Lad os se på et eksempel. Polynomiet g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis kan omskrives til g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
Nu kan vi se, at de lineære faktorer i g, left parenthesis, x, right parenthesis er left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis og left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Når vi løser ligningen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 for x, får vi x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 eller x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Disse løsninger kaldes polynomiets rødder.
Funktionen har et nulpunkt ved de x-værdier, hvor funktionsværdien er 0. Vi ved allerede, at x, equals, 3 og x, equals, minus, 2 er løsninger til ligningen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, derfor er start color #01a995, 3, end color #01a995 og start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 nulpunkter i funktionen g.
Til sidst, løsningerne til ligningen 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis svarer til skæring med x-aksen for grafen y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Den ligningen har vi allerede løst. Skæring med x-aksen sker derfor i punkterne left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis og left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis.

Tjek din forståelse

1) Bestem nulpunkterne i f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis.
Vælg 1 svar:

2) Grafen for funktionen g har skæring med x-aksen i left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis. Hvilken rod må ligningen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 derfor have?
x, equals
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Nulpunkterne i funktionen h er minus, 1 og 3. Hvilken funktionsforskrift kunne være for h, left parenthesis, x, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

Nulpunkter og multiplicitet

Når den samme lineær faktor indgår mere end én gang under faktorisering af et polynomium, så har det tilhørende nulpunkt en multiplicitet.
For eksempel, polynomiet f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript har nulpunktet 4 med en multiplicitet på start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Hvis vi skriver f, left parenthesis, x, right parenthesis på udvidet form, så skal faktoren left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis skrives start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff gange:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Man kan sige, når ligningen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 løses, vil x, equals, 4 være en løsning to gange.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Hvis faktoren x, minus, k indgår m gange, når et polynomium faktoriseres, så er k et nulpunkt med en multiplicitet på m. Et nulpunkt med en multiplicitet på 2 kaldes også for et dobbelt nulpunkt eller en dobbeltrod.

Tjek din forståelse

4) Hvilket nulpunkt if, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed har en multiplicitet på 3?
Vælg 1 svar:

5) Hvilket nulpunkt i g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared er en dobbeltrod?
Vælg 1 svar:

Den grafiske sammenhæng med multiplicitet

Multipliciteten af et nulpunkt er vigtigt at kende, da vi dermed kan forudsige, hvordan grafen for polynomiet vil opføre sig omkring dette nulpunkt.
Et koordinatsystem vises. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Grafen for f af x er afbildet. Forskriften for f af x er x minus 1 gange kvadratet på x minus 4. Grafen kommer op fra venstre, går gennem 1 komma 0, vender og går nedad igen og rører x aksen i 4 komma 0 inden den vender og går opad igen.
Grafen for f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared opfører sig anderledes omkring nulpunktet 1 end omkring nulpunktet 4, som er en dobbeltrod.
Grafen skærer x-aksen ved x, equals, 1, men den rører x-aksen ved x, equals, 4.
Et koordinatsystem vises. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Grafen for g af x er afbildet. Forskriften for g af x er kvadratet på x minus 1 gange x minus 4. Grafen kommer op fra venstre, rører x aksen ved 1 komma 0, vender og går nedad igen, vender og går opad og går gennem 4 komma 0 og fortsætter opad.
Lad os se på en funktion der har de samme nulpunktet, men en anden multiplicitet. Funktionen g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis har dobbeltroden 1, hvorimod nulpunktet 4 kun indgår én gang.
Grafen for funktionen g rører x-aksen ved x, equals, 1 og skærer x-aksen ved x, equals, 4.
Generelt gælder, hvis funktionen f har et nulpunkt med en ulige multiplicitet, så skærer grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis x-aksen i dette nulpunkt. Hvis funktionen f har et nulpunkt med en lige multiplictet, så rører grafen for y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis x-aksen i dette nulpunkt.

Tjek din forståelse

6) Har funktionen nedenfor et nulpunktet ved x, equals, 6 med en lige eller ulige multiplicitet?
Et koordinatsystem vises. Begge akser har mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. Grafen for et polynomium er afbildet. Grafen kommer ned fra venstre, rører x aksen i minus 4 komma 0, vender og går opad, vender og går nedad gennem 6 komma 0.
Vælg 1 svar:

7) Hvilken graf svarer til funktionen h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

8) Hvilken graf svarer til funktionen f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.