If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Algebra 2

Emne: (Algebra 2 > Emne 5

Modul 2: Positive og negative intervaller for polynomier
Matematik
Algebra 2
Grafer for polynomier
Positive og negative intervaller for polynomier
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Nulpunkter i polynomier og deres grafer

Google Classroom
Lær om sammenhængen mellem polynomiers nulpunkter, rødder og skæring med x-aksen. Vi skal ligeledes lære om nulpunkternes multiplicitet.

Hvad du kan lære i dette modul

Når du arbejder med polynomier bruger du ord og begreber som nulpunkter, rødder, faktorer og skæring med x-aksen.
I denne lektion skal vi lære, hvilke sammenhænge der er mellem disse begreber og polynomiernes egenskaber.

Grundlæggende egenskaber ved polynomier

For polynomiet f og det reelle tal k betyder følgende udsagn det samme:
  • x=k er en rod, altså en løsning til ligningen f(x)=0
  • k er et nulpunkt i funktionen f
  • Grafen for y=f(x) har skæring med x-aksen i punktet (k,0)
  • x−k er en lineær faktor i f(x)
Lad os se på et eksempel. Polynomiet g(x)=(x−3)(x+2) kan omskrives til g(x)=(x−3)(x−(−2)).
Nu kan vi se, at de lineære faktorer i g(x) er (x−3) og (x−(−2)).
Når vi løser ligningen g(x)=0 for x, får vi x=3 eller x=−2. Disse løsninger kaldes polynomiets rødder.
Funktionen har et nulpunkt ved de x-værdier, hvor funktionsværdien er 0. Vi ved allerede, at x=3 og x=−2 er løsninger til ligningen g(x)=0, derfor er 3 og −2 nulpunkter i funktionen g.
Til sidst, løsningerne til ligningen 0=g(x) svarer til skæring med x-aksen for grafen y=g(x). Den ligningen har vi allerede løst. Skæring med x-aksen sker derfor i punkterne (3,0) og (−2,0).

Tjek din forståelse

1) Bestem nulpunkterne i f(x)=(x+4)(x−7).
Vælg 1 svar:

2) Grafen for funktionen g har skæring med x-aksen i (2,0). Hvilken rod må ligningen g(x)=0 derfor have?
x=
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi

3) Nulpunkterne i funktionen h er −1 og 3. Hvilken funktionsforskrift kunne være for h(x)?
Vælg 1 svar:

Nulpunkter og multiplicitet

Når den samme lineær faktor indgår mere end én gang under faktorisering af et polynomium, så har det tilhørende nulpunkt en multiplicitet.
For eksempel, polynomiet f(x)=(x−1)(x−4)2 har nulpunktet 4 med en multiplicitet på 2.
Hvis vi skriver f(x) på udvidet form, så skal faktoren (x−4) skrives 2 gange:
f(x)=(x−1)(x−4)(x−4)
Man kan sige, når ligningen f(x)=0 løses, vil x=4 være en løsning to gange.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4
Hvis faktoren x−k indgår m gange, når et polynomium faktoriseres, så er k et nulpunkt med en multiplicitet på m. Et nulpunkt med en multiplicitet på 2 kaldes også for et dobbelt nulpunkt eller en dobbeltrod.

Tjek din forståelse

4) Hvilket nulpunkt if(x)=(x−3)(x−1)3 har en multiplicitet på 3?
Vælg 1 svar:

5) Hvilket nulpunkt i g(x)=(x+1)3(2x+1)2 er en dobbeltrod?
Vælg 1 svar:

Den grafiske sammenhæng med multiplicitet

Multipliciteten af et nulpunkt er vigtigt at kende, da vi dermed kan forudsige, hvordan grafen for polynomiet vil opføre sig omkring dette nulpunkt.
Et koordinatsystem vises. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Grafen for f af x er afbildet. Forskriften for f af x er x minus 1 gange kvadratet på x minus 4. Grafen kommer op fra venstre, går gennem 1 komma 0, vender og går nedad igen og rører x aksen i 4 komma 0 inden den vender og går opad igen.
Grafen for f(x)=(x−1)(x−4)2 opfører sig anderledes omkring nulpunktet 1 end omkring nulpunktet 4, som er en dobbeltrod.
Grafen skærer x-aksen ved x=1, men den rører x-aksen ved x=4.
Et koordinatsystem vises. Begge akser har markeringer for hver 1. Hver anden markering fra minus 8 til 8 er mærket. Grafen for g af x er afbildet. Forskriften for g af x er kvadratet på x minus 1 gange x minus 4. Grafen kommer op fra venstre, rører x aksen ved 1 komma 0, vender og går nedad igen, vender og går opad og går gennem 4 komma 0 og fortsætter opad.
Lad os se på en funktion der har de samme nulpunktet, men en anden multiplicitet. Funktionen g(x)=(x−1)2(x−4) har dobbeltroden 1, hvorimod nulpunktet 4 kun indgår én gang.
Grafen for funktionen g rører x-aksen ved x=1 og skærer x-aksen ved x=4.
Generelt gælder, hvis funktionen f har et nulpunkt med en ulige multiplicitet, så skærer grafen for y=f(x) x-aksen i dette nulpunkt. Hvis funktionen f har et nulpunkt med en lige multiplictet, så rører grafen for y=f(x) x-aksen i dette nulpunkt.

Tjek din forståelse

6) Har funktionen nedenfor et nulpunktet ved x=6 med en lige eller ulige multiplicitet?
Et koordinatsystem vises. Begge akser har mærkede markeringer for hver 2 fra minus 8 til 8. Grafen for et polynomium er afbildet. Grafen kommer ned fra venstre, rører x aksen i minus 4 komma 0, vender og går opad, vender og går nedad gennem 6 komma 0.
Vælg 1 svar:

7) Hvilken graf svarer til funktionen h(x)=x2(x−3)?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave

8) Hvilken graf svarer til funktionen f(x)=−x3+4x2−4x?
Vælg 1 svar:

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.