Positive og negative intervaller for polynomier

Vi har polynomiet p(x). På faktoriseret form er det (x + 2) (2x - 3) (x - 4). I denne video skal vi bruge vores viden om rødder til at finde de intervaller hvor dette polynomium er positivt og negativt. Det vi skal lære er at polynomiets fortegn forbliver det samme mellem to på hinanden følgende nulpunkter. Lad mig tegne en graf af et vilkårligt polynomium, så du bedre kan se, hvorfor det er sandt. x-akse og y-akse. Hvis jeg tegner et vilkårligt polynomium, så kan du se, at mellem to på hinanden følgende nulpunkter er fortegnet det samme. Mellem disse to nulpunkter er polynomiet positivt. Mellem disse to nulpunkter er polynomiet negativt. Det giver mening. Hvis fortegnet ændres, så skal den skære x-aksen og der vil være et nulpunkt. Og vi siger mellem to på hinanden følgende nulpunkter. Mellem disse to nulpunkter er det igen positivt. Efter dette nulpunkt forbliver det negativt. Hvis det ikke længere er negativt, så må der være endnu et nulpunkt. Lad os vende tilbage til dette eksempel. Lad mig slette dette, da det ikke er grafen for p(x), som jeg skrev heroppe. Lad os først finde nulpunkterne. Nulpunkterne er de x-værdier, der gør enten (x + 2) = 0, (2x - 3) = 0 eller (x - 4) = 0. Hvilke x-værdier vil gøre (x + 2) = 0? Det er naturligvis x = -2. Hvilken x-værdi vil gøre (2x - 3) = 0? Læg 3 til på begge sider og du får 2x er lig 3. Division på begge sider med 2, og du får x = 3/2. Sidst men ikke mindst, hvilke x-værdier gør (x - 4) = 0? Læg 4 til på begge sider og du får x er = 4. Hvis vi afbilder disse, så vil de se nogenlunde således ud. Dette x = -2. x = -1. Dette er 0. Dette er 1, 2, 3 og 4. Lad mig lige tegne y-aksen her. Dette er y-aksen, x og y. Vi har et nulpunkt ved x = -2, så grafen skærer x-aksen der. Vi har et nulpunkt ved x = 3/2, som er 1,5. Det er lige der. Og vi har et nulpunkt ved x = 4, som er lige der. Vi har derfor flere intervaller. Lad mig lige lave en tabel. Intervallerne mellem to på hinanden følgende nulpunkter. --lad mig lige lave tabellen her -- x < -2. Det er et interval. -- lad mig bruge forskellige farver -- Intervallet for x < -2 er dette gule helt til venstre. Der er et interval, når x er mellem -2 og 3/2. Det er dette interval. -- jeg bruger forskellige farver -- Der er et interval mellem 3/2 og 4. 3/2 er mindre end x som er mindre end 4. Sidst men ikke mindst er der intervallet, hvor x > 4. Intervallet lige her. x > 4. Der er et par forskellige måder, man kan bruge til at finde ud af, om vores funktion er positiv eller negativ i dette interval. En måde er at udregne værdien af p, vores funktion, i et punkt i intervallet. Hvis den er positiv, så er hele intervallet positivt. Hvis den er negativ, så er hele intervallet negativt. Det giver mening For at skifte skal der være et nulpunkt. Jeg ved, jeg har sagt det flere gange. Man kan også for et interval overveje, hvilket fortegn har (x + 2), (2x - 3) og (x -4)? Altså om de er positive eller negative og bruge vores viden, om multiplikation af positive og negative størrelser, til at se om hele produktet har en positiv eller negativ værdi. Lad os prøve begge metoder. Her har vi test-værdier af x. Lad os se, hvad vi kan udlede for dette interval. Er det positivt eller negativt? Først x < -2. Det kan være enhver værdi, hvor x er < -2, så lad os prøve med x = -3. Du kan udregne p(-3). Lad os gøre det. Det bliver lig med (-1) gange 2 gange -3, som er -6 minus 3, er (-9). gange (-3 - 4), som er (-7). Hvis du ganger det sammen, så får du -63, som tydeligvis er negativt. I dette interval er polynomiet negativt. Vi går videre til det næste. Det smarte er, at vi ikke engang behøvede at udregne -63. Vi kan se, det er negativ gange negativ gange negativ som er negativ. Så lad os blot gøre det fremover. Lad os se, om hver af dem er positiv eller negativ og så se, hvad der sker, når du ganger disse positive og negative sammen. I det næste interval mellem -2 og 3/2, hvad sker der der? Vi vælger et punkt. Lad os sige x = 0. Det er jo dejlig nemt. Hvis x = 0, så får vi positiv gange negativ gange negativ. Det udregnede jeg i hovedet. Denne bliver +2 gange -3 gange -4. Positiv gange negativ gange negativ. Det kan jeg skrive således positiv gange negativ gange negativ. En negativ gange en negativ er positivt. En positiv gange en positiv er positivt. Vi har et positivt interval. Hvis du udregner p(0), så får du en positiv værdi. Hvad med det næste interval? Det næste interval er mellem 3/2 og 4. Vi kan prøve med x = 2. Når x = 2, så får vi positiv gange positiv gange (2 - 4) er negativ, så gange negativ. Det bliver negativt i dette interval. Sidst men ikke mindst, når x > 4. Vi kan prøve x = 5. Vi har positiv gange positiv gange positiv. Så vi får positivt. Som jeg nævnte før, du kan gøre det uden test-punkter. Du kan sige, når x > 4, og du lægger 2 til, så bliver det positivt For enhver x større end 4, hvis du ganger det med 2 og trækker 3 fra, så bliver det positivt, da 2 gange noget større end 4 med sikkerhed er større end 3. For enhver x større end 4, hvis du trækker 4 fra, så får du en positiv værdi. Det er en anden måde at gøre det på, uden at bruge et test-punkt. Men sådan, vi har fundet de intervaller, hvor funktionen er negativ og positiv. Vi ved ikke præcis, hvordan funktionen ser ud, men vi ved, den er negativ i dette første interval. Måske den ser således ud. Den er positiv i det næste interval. Og den er negativ i det tredje interval Og den er positiv i det sidste interval. Så vi har her en generel graf. Vi kan ikke vide, uden at prøve flere punkter, hvor højt op og langt nede den går.