Nulpunkter i polynomier: udpege forskrifter ud fra nulpunkter

Et polynomium p har nulpunkter ved x = -4, x = 3 og x = 1/8. Hvad kan forskriften for p være? Sæt videoen på pause og prøv selv, inden vi laver den sammen. Okay. Når vi har nulpunkter med disse værdier, så ved vi, at p(x) er lig med 0, når x er lig en af disse værdier. p(-4) er lig 0. p(3) er lig 0. og p(1/8) er lig 0. Før jeg kigger på disse svarmuligheder, så vil jeg prøve at lave et polynomium, hvor dette er sandt. Så længe jeg skriver polynomiet, som et produkt af udtryk, hvor hver af disse, vil gøre hvert udtryk lig 0. Hvilket udtryk er 0, hvis x = -4? Udtrykket (x + 4) er lig 0, når x er lig -4. Det virker. Hvilket udtryk er lig 0, når x = 3? Hvad med udtrykket (x - 3)? Hvis x = 3, så er det lig 0. 0 gange noget er lig 0. p(3) er lig 0 i dette tilfælde. Hvilket udtryk vil være lig 0, når x = 1/8? Det er (x - 1/8). Disse er ikke de eneste udtryk. De kan ganges med konstanter, men princippet, som jeg nævnte, skal være sandt. Vores polynomium kan se således ud. Du kan selv prøve. Hvis x = -4, så er det første udtryk lig 0. 0 gange noget gange noget er 0. Det samme gælder for x = 3. Hvis x = 3, så er (x - 3) lig 0 og 0 gange noget gange noget er 0. Hvis x = 1/8, så er dette udtryk lig 0. 0 gange noget gange noget er lig 0. Hvilken svarmulighed ser sådan her ud? Lad os se. (x + 4) Det ser jeg i mulighed B og i mulighed D. Mulighed C har (x - 4), det er 0, når x = 4. Hvis x = 4, så vil den første del i dette udtryk være lig 0. Men vi er interesserede i x = -4. Så jeg vil fjerne C og af samme årsag fjerne A. Så vi har B og D tilbage. Lad os se. Hvilken en har (x - 3)? Jeg ser (x - 3) her. Og jeg ser (x - 3) der. Så både B og D er gode. Jeg laver lige et hak mere. Sidst men ikke mindst, Hvilken af disse vil være lig 0, når x = 1/8? Lad mig se. Hvis jeg siger 1/8 gange 1/8, så får jeg 1/64 i denne del af udtrykket. Det bliver ikke 0. De to andre bliver heller ikke 0, hvis x = 1/8. Så denne her ser ikke god ud. Men lad os lige tjekke denne her. Hvis x = 1/8, så har vi 8 gange 1/8, som er 1 minus 1. Det bliver lig 0. Denne her er god nok. Men du tænker, øh hvad? Dette polynomium ser lidt anderledes ud end det polynomium, jeg skrev heroppe, da jeg forsøgte at lave et polynomium, hvor dette er sandt. Men som jeg sagde, jeg kan tage dette og gange med konstanter og det vil stadig være sandt. Hvis vi ganger dette med 8, så bliver p(x) som denne her. Hvis vi ganger dette med 8, så ændrer det ikke nulpunkterne. Du ganger blot 8 ind i parentesen. Det sidste udtryk bliver (8x - 1), som er det der står hernede.