Grafisk sammenhæng mellem 2ˣ og log₂(x)

I denne video vil jeg afbilde en klassisk eksponentiel funktion og dernæst afbilde den logaritmiske funktion, der hører til, og se på den grafiske sammenhæng mellem de to. Jeg vil afbilde grafen for y = 2ˣ og y = log₂(x). Sæt videoen på pause og lav en tabel for hver af dem og afbild dem i det samme koordinatsystem. Hvilken sammenhæng der er mellem dem? Hvorfor er der denne sammenhæng? Lad os starte med y = 2ˣ. Jeg laver en lille tabel med x-værdier og de tilsvarende y-værdier. Vi kan prøve med -2, -1, 0, 1, 2 og 3. I hvert tilfælde er y lig 2 opløftet til denne grad. 2 opløftet til -2 er 1/4. 2 opløftet til -1 er 1/2. 2 opløftet til 0 er 1. 2 opøftet til 1 er 2. 2 opløftet til 2 er 4. 2 opløftet til 3 er 8. Lad os afbilde dem. 2 opløftet til 3 er 8. 2 opløftet til 2 er 4. 2 opløfte til 1 er 2. 2 opløfte til 0 er 1. 2 opløftet til -1 er 1/2. 2 opløftet til -2 er 1/4. 2 opløftet til -3 er 1/8. Den kommer til at se nogenlunde sådan ud. Det er hvad nogle kalder den klassiske eksponentielle hockeystav. Den starter langsomt og bum, så skyder den opad. Bemærk, når vi går mod venstre, og x bliver mere og mere negativ, så nærmer den sig 0, men når aldrig ned. Hvis vi har 2 opløftet til - 1 million, så bliver det et meget meget lille tal, der er meget meget tæt på 0, men aldrig helt 0. Vi har en vandret asymptote med ligningen y er lig 0, x-aksen er altså en vandret asymptote. Godt nok. Lad os nu afbilde y = log₂(x) Før jeg afbilder den, lad os overveje, hvordan den kan omskrives? Dette betyder, hvilket y skal 2 opløftes til for at få x? Det tilsvarende udsagn er 2 opløftet til y er lig x. Bemærk, vi har egentlig blot byttet rundt på x og y. Her er det 2 opløftet til x er lig y. Her er det 2 opløftet til y er lig x. Der er blot byttet rundt på x'erne og y'erne. Vi kan derfor bytte rundt på disse to kolonner. x og y. Lad mig gøre det 1/4, 1/2, 1, 2, 4 og 8. Hvis x er 1/4, hvad skal 2 opløftes til for at få 1/4? 2 skal opløftes til -2. 2 opløftet til -1 er 1/2. 2 opløftet til 0 er 1. 2 opløftet til 1 er 2. 2 opløftet til 2 er 4. 2 opløftet til 3 er lig 8. Bemærk, vi har faktisk blot byttet rundt på de to kolonner. Lad os afbilde det. Når x er lig 1/4, så er y lig -2. Når x er lig 1/2, så er y lig -1. Når x er 1, så er y lig 0. Når x er lig 2, så er y lig 1. Når x er lig 4, så er y lig 2. Når x er lig 8, så er y lig 3. Den kommer til at se således ud. Nu har du nok allerede set mønstret. Disse to grafer er spejlinger af hinanden. Hvilken spejlingsakse skal du bruge for at få disse to? Du skal spejle i linjen y er lig x. Når du bytter rundt på x'erne og y'erne, så får du den anden graf. Bemærk, hvordan de er symmetriske omkring denne linje? Det er fordi de er inverse funktioner til hinanden. Vi byttede rundt på x'erne og y'erne. Når x bliver mere og mere og mere og mere negativ, så nærmer y sig 0. Her kan du se, når y bliver mere og mere negativ, så nærmer x sig 0. Eller du kan sige, når x nærmer sig 0, så bliver y mere og mere negativ. Pointen her er, at give dig en ide om sammenhængen mellem en eksponentiel funktion og en logaritmisk funktion. De er det inverse af hinanden. Du kan se det på graferne, de er spejlbilleder af hinanden i linjen med ligningen y er lig x.