Afbildning af logaritmiske funktioner (eksempel 1)

Vi får at vide, at dette er grafen for y = log₂(x). Der står tegn grafen for y = log₂(-x - 3). Sæt videoen på pause og prøv selv. Den anden funktion, som vi skal afbilde, er en version af den første funktion efter et forløb af transformationer. Jeg opfordrer dig til at finde noget papir og afbilde, hvordan transformationerne vil ændre den oprindelige graf, så du kan se, hvor vi ender. Okay, lad os lave den sammen. Den lilla graf er altså y = log₂(x). Forskellen mellem dette med lilla og den endelige forskrift er, at vi her ikke ganger logaritmen med noget, hvorimod i den endelig graf skal vi gange med 2. Her har vi blot log₂(x), mens vi her har log₂(-x - 3). Det kan vi skrive som -(x + 3). Vi kan ændre denne forskrift og dermed transformere grafen, indtil vi når den endelige graf. Det første vi kan gøre er at erstatte x med -x. Lad os afbilde grafen for y = log₂(-x). I andre videoer har vi snakket om, hvilken transformation det er, men vi kan også fornemme det. Uanset hvilken y-værdi vi fik for en givet x-værdi, for eksempel når x er lig 4, og log₂(4) er 2, så vil det nu ske ved -4. log₂(-(-4)) det er log₂4, så det er stadig 2. Før når vi indsatte 1, så er log₂1 lig med 0. Nu får du det samme ved -1. Du tager -(-1), som er 1, så log₂(-(-1)) er 0. Da vi før ved x er lig 8 fik 3, nu sker det, når x er lig -8. Grafen kommer derfor til at se nogenlunde således ud. Okay, godt nok. Det næste vi skal gøre er at erstatte dette x med (x + 3). da vi så kommer lidt tættere på det, vi skal afbilde. Lad os se på grafen for y er lig 2tals-logaritmen -- jeg burde sætte parentes for at gøre det mere tydeligt -- til - (x + 3). Hvad sker der, når vi erstatter x med (x + 3)? Du kan sige (x + 3) svarer til (x - - 3). Vi har lavet mange eksempler, der viser, når du erstatter x med (x + 3), så forskyder du hele grafen 3 til venstre. Dette flytter grafen 3 til venstre. Hvis der havde stået (x - 3), så ville det være 3 til højre. Hvordan flytter vi 3 til venstre? Det punkt som har værdien 0, skal nu ligge 3 til venstre. Før var det ved x er lig -1, nu bliver det ved x er lig -4. Det punkt hvor y er lig 2, i stedet for at være ved x er lig -4, så ligger det 3 til venstre, som er x er lig -7. Altså lige her. Grafen gik mod minus uendelig, når x nærmede sig 0, nu sker det, når x nærmer sig -3. Jeg kan tegne en stiplet linje. Når x nærmer sig linjen, så går grafen mod minus uendelig. Grafen kommer til at se nogenlunde således ud. Den er ikke perfekt, og vi er ikke færdige men vi nærmer os. For at få den endelige graf, så skal vi gange den højre side med 2. Lad os tegne y = 2 log₂(-(x + 3)), som er den endelige graf. Jeg har blot sat minustegnet udenfor parentes, for bedre at se transformationerne. Det betyder, at uanset hvilken værdi y havde før ved en givet x, så skal vi nu have en y-værdi, der er 2 gange større. Hvor vi før havde 0, der har vi stadig 0. Men hvor vi før havde 2, der får vi nu 4. Grafen kommer til at se nogenlunde således ud. Og vi er færdige. Dette er den strukket graf til alt dette. Hvis du lavede dette på Khan Academy, så vil dette være en svarmulighed, som du forhåbentlig ville vælge.