Spejling af funktioner: Eksempler

I denne video skal vi lave nogle eksempler på opgaver fra Khan Academy, der handler om spejling af funktioner. Den første siger, at dette er grafen for funktionen f. Godt nok. Funktionen g er defineret, som g(x) er lig f(-x). Også godt nok. Hvad er grafen for g? På Khan Academy er der flere svarmuligheder, men jeg tænker her i videoen, vil det være mere sjovt at overveje, hvordan grafen for g vil se ud uden at have disse muligheder. Sæt videoen på pause og prøv at forstille dig grafen. Ok, lad os lave den sammen. Vi ved allerede at g(x) er lig f(-x). Uanset hvilken værdi f får for enhver x, så forventer vi, at g er den værdi for den omvendte værdi af x. For eksempel kan vi se at f(4) er lig 2, så vi forventer at g(-4) er lig 2, fordi g(-4) er lig med f(--4), som er lig med f(4). Vi kan fortsætte på samme måde. Hvad er g(-2)? Det vil være det samme som f(2), som er 0, så det er lige her. Hvad er g(0)? Det er det samme som f(0), da det omvendte af 0 er 0. f(0) er lige her. Det ser ud til at være -2. Du kan vist allerede se, hvor det bær hen. Vi har allerede snakket om det i en tidligere video, Hvis du erstatter x med -x, så svarer det til at spejle i y-aksen. g kommer til at se nogenlunde således ud. g(-6) er det samme som f(6) Dette er grafen for g. Hvis du laver dette på Khan Academy, så vælger du den svarmulighed, der viser en spejling i y-aksen. Lad os lave endnu et eksempel. Dette er grafen for funktionen f. Hvad er grafen for g? Sæt videoen på pause og prøv at forestille dig, hvordan g ser ud. Okay, i denne situation er x i f(x) ikke erstattet med -x, I stedet er g(x) lig med det omvendte af alt dette. Vi kan omskrive g(x) til -- alt dette er f(x) -- så g(x) er lig med -f(x). Så i stedet for at være f(-x) så er det lig -f(x). Vi kan se på det som f(0) er 2, men g(0) er det omvendte af det. Det bliver lig med -2. Du kan forsætte på samme måde. Uanset hvad f af en vis værdi er, så er g det omvendte af det. Så den vil være hernede. g(x) er en spejling af f(x) i x-aksen. g(x) kommer til at se nogenlunde sådan her ud - en spejling i x-aksen. Hvis dette var på Khan Academy så vill du vælge den mulighed, der ser sådan ud. Lad os lave endnu et eksempel, da det er ret sjovt. Okay, her får vi at vide, at funktionen f med blåt og g med stiplet linje er afbildet. Hvad er forskriften for g udtrykt med f? Sæt videoen på pause og tænk over det. Det vigtige er her at indse, hvordan vi transformerer f(x), så vi får g(x). Så f(-x) er en spejling af f i y-aksen. Så den vil skære lige her og have den rette del her. -- jeg prøver mig lidt frem -- Så vil den går opad. Det er f(-x), så når du indsætter 6, så svarer det til f(-6), som er 6. Den vil gå op hertil. f(-x) vil derfor se nogenlunde sådan her ud. Den lilla graf er f(-x). Men det er jo ikke helt g. Men vi er en smule tættere på. Det ser ud som om, hvis jeg spejler f(-x) i x-aksen, så får jeg g. Hvordan spejler du noget i x-aksen? Vi har lige set det i et eksempel. Du ganger hele funktionen med minus 1. Så vi kan skrive, at g er lig med -f(-x). Den er lig det negative til alt dette. Vi laver begge spejlinger. Vi vender f over y-aksen og vi vender den over x-aksen for at få g. Lad os lave endnu et eksempel. Også her har de afbildet f og g og siger at forskriften for f er lige her, hvad er forskriften for g? Vi bliver ikke bedt om den udtrykt med f, vi skal skrive forskriften for g. Sæt videoen på pause og tænk over det. Du kan tydeligt se, at dette er en spejling i y-aksen. Ved en spejling i y-aksen, så skal g(x) være lig f(-x). Hvordan ved vi det? Værdien af f(x) ved en vis værdi, svarer til g af den omvendte værdi. Man kan også vælge dette punkt -8. f(-8) er lig med lidt over 4, og g(8) er lig med lidt over 4, altså lig den samme værdi. Hvad er forskriften for g? Vi skal omskrive dette til en forskrift. Vi kan skrive, at g(x) er lig -- når jeg erstatter alle x'er med -x, hvad får jeg så? Jeg får 4 gange kvadratroden af 2 - i stedet for x, får jeg -x. Dette -8 er udenfor rodtegnet. Så g(x) er lig med 4∙√(2 + x) - 8. Og vi er færdige.