Transformation af trigonometriske funktioner: lodret og vandret strækning

Vi skal tegne grafen for funktionen y = -2,5 cos(⅓x) i det lukkede interval fra 0 til 6π. Jeg vil prøve at tegne grafen, så godt jeg kan. Først vil jeg tegne den mere enkle funktion, altså den mest enkle version af denne, som er cos(x). Lad mig blot tegne den. Dette er min y-akse. Jeg laver lidt ekstra plads, så jeg kan tegne hele intervallet. Lad os sige dette er -1 og -2. Dette er +1 og +2. Lad os sige at dette er 2π, og så er dette naturligvis π. Jeg kopierer den lige, så jeg kan bruge den igen om lidt. Lad os komme i gang. Jeg tegner først grafen for y er lig cos(x). Først x er lig 0. Jeg viser den blot i intervallet mellem 0 og 2π. Det er en periodisk funktion, der fortsætter i både den negative og positive retning. Hvad sker der, når x er lig 0? Hvad er cos(x)? Cos(0) er 1. Hvad sker der, når x er lig π? Hvad er cos(π)? cos(π) = -1. Hvad med cos(2π)? Den er igen 1. Vi har nu fuldendt en hel periode eller en hel cyklus. 2π er perioden af cos(x). Dette er én cyklus. Jeg kunne fortsætte, men jeg vil blot vise denne ene cyklus mellem 0 og 2π. Nu skal vi finde ud af, hvad der sker med denne graf. I stedet for at tegne y er lig cos(x), -- jeg henter et nyt koordinatsystem -- I stedet for at tegne cos(x), så vil jeg nu tegne y er lig cos(1/3x). Den eneste forskel er, at jeg nu ganger x med 1/3. Hvad sker der så med denne graf? Hvordan ændres den, når vi i stedet for x har 1/3 x? Hvad sker der her? Nu tegner jeg den for hele intervallet fra 0 til 6π. Lad mig lige sikre mig, der er plads nok. Dette er 3π, 4π, 5π og 6π. Hvad sker der med denne graf? Man kan anskue det på et par forskellige måder. Det nemmeste er nok at sige, vi fuldfører en hel cyklus 1/3 gang så hurtigt, altså vi går 3 gange så langsomt. Eller du kan se på perioden. Hvad er perioden af cos(1/3x)? Perioden er 2π divideret med den numeriske værdi af denne koefficient. Den numeriske værdi af 1/3 er 1/3. Perioden er 2π over 1/3, som er det samme som 2π gange 3, som er 6π. Hvilket giver god mening. Det tager 3 gange så lang tid for et vilkårligt input i funktionen at komme tilbage til 2π. Uanset hvilket x vi vælger, så tager vi 1/3 af det. Når vi skal nå 2π, så kan x ikke blot være lig 2π, x skal nu være 6π for at der indsættes 2π i cosinusfunktionen. Perioden er nu 6π. Når x er lig 0, så er 1/3 gange 0 lig 0 og cos(0) er 1. Når x er lig 6π, så har vi 6π divideret med 3 er 2π. cos(2π) = 1. Her ligger midten ved π, men her skal vi bruge 3π. Når x er 3π, så svarer det til cosinus af 1/3 af 3π, som er cos(π). cos(π) = -1. Når x er lig 3π, så har vi cosinus til 1/3 gange 3π, som er -1. Lad os se, hvordan det ser ud? Min bedste frihåndstegning. Den kommer til at se nogenlunde således ud. Når vi går fra y er lig cos(x) til y er lig cos(1/3 x), så strækker vi egentlig funktionen vandret med en faktor på 3. Du kan se, at perioden er 3 gange længere. Her er perioden 2π. Vi skal lave endnu en transformation for at komme til den funktion vi skal tegne. I stedet for at have cos(1/3x), så skal vi have -2,5cos(1/3x). Lad os prøve at tegne den. Jeg laver lige mine akser igen. Og jeg mærker dem. Dette er 2π, 3π, 4π, 5π og 6π. Jeg vil tegne grafen i hele intervallet fra 0 til 6π. Her var det kun fra 0 til 2π. Da de alle er periodiske, så fortsætter de blot. Vi skal tegne grafen for y = -2,5cos(1/3x). Forskellen er, at vi ganger med -2,5. Lad os lige se på et par ting. Hvad var amplituden af disse to grafer? Det kan man anskue på to måder. Du kan sige, at amplituden svarer til den halve forskel mellem minimum- og maksimumværdierne. I begge tilfælde er minimum -1 og maksimum er 1. Forskellen er 2, og det halve er 1. Eller du kan blot sige, at det er den numeriske værdi af denne koefficient, som underforstået er 1. Den numeriske værdi af 1 er 1. Hvad er amplituden af denne her? Amplituden er lig den numeriske værdi af det cosinusfunktionen ganges med. Amplituden er her den numeriske værdi af -2,5, som er 2,5. Med det sagt, når vi ganger med -2,5, hvordan transformeres denne graf så? Lad os se. Hvis den blev ganget med +2,5, så strækkes den lodret. Hvert punkt skal ganges med en faktor på 2,5. Men der står -2,5, så hvert punkt skal strækkes og vendes over x-aksen. Lad os gøre det. Når x var 0, så fik vi her 1. Men nu skal vi gange det med -2,5. hvilket betyder at vi får -2,5. Lad mig tegne -2,5 her. Dette er -2,5. Dette her er -3, så dette er +3. Dette tal her er -2,5. Lad mig lave en stiplet linje. Den kan blive nyttig. Når cos(1/3x) er 0, så er det ligegyldigt, hvad du ganger med. Du får stadig 0. Da cos(1/3x) var -1, som var når x er lig 3π, hvad sker der så her? Da cos(1/3x) er lig -1, -1 gange -2,5 er +2,5. Vi får altså +2,5 her. -- jeg tegner lige en stiplet linje -- Vi har +2,5 lige her. Når cos(1/3x) er lig 0, så gør det ingen forskel, hvad vi ganger med og vi får 0. Til sidst når x er lig 6π, så er cos(1/3x) lig 1. Hvad bliver det, når vi ganger med -2,5? Det bliver -2,5. Vi er tilbage her. Nu kan vi tegne grafen. Lad mig gøre det med lyserød, da jeg brugte den til at skrive med. Den kommer til at se sådan her ud. Jeg bruger en fuldt optrukket linje. Den ser sådan her ud. Du kan se, hvad der skete. Når der indsætte 1/3 her, så strækkes grafen vandret og perioden øges med en faktor på 3. Så der ganges med -2,5. Hvis der ganges med 2,5, så strækkes den lodret. Når der er et negativt fortegn, så øges amplituden, men den vendes også. Her er amplituden 2,5. Der er en forskel på 2,5 til midterpositionen. Eller du kan sige at forskellen mellem minimum og maksimum er 5 og det halve af det er 2,5. Men du ganger ikke blot grafen med 2,5. Hvis du gør, så ser grafen nogenlunde således ud. Fordi der er et negativt fortegn, så skal den vendes over x-aksen. Sådan her. Amplituden af 2,5, men den er er vendt rundt i forhold til denne graf.