Transformation af trigonometriske funktioner: lodret strækning og vandret spejling

Vi skal tegne grafen for funktionen y = 2 sin(-x) i det lukkede interval -2π til 2π. For at gøre dette vil jeg først tegne grafen for funktionen y = sin(x) og dernæst overveje, hvordan den ændres af dette 2-tal og det negative fortegn ved x. Lad os først lave y = sin(x). Lad mig tegne en x-akse og en y-akse. -- lige ud af landevejen -- Vi skal se på værdierne mellem -2π og 2π. Lad os sige dette er -2π. og at dette her er -π. Dette er naturligvis 0. Dette er plus π og her er 2π. Dette er 1 og 2. Dette er -1 og -2. Jeg kopierer lige dette til senere brug, når jeg skal ændre grafen. Lad os se på sin(x). Hvad sker der, når sinus er 0? Nej, jeg mener, når x er 0, så er sin(0) lig 0. Jeg tegner lige en lille enhedscirkel, som vi kan bruge. Det gør jeg altid, normalt inde i hovedet, når jeg skal finde en værdi af de trigonometriske funktioner. Dette er x og dette er y. Her er enhedscirklen. Husk, at x svarer til vinklen. Enhedscirklen har radius 1. Når vinklen er 0, så svarer sinus til y-koordinaten, så sin(0) er 0. Sinus bliver ved med at vokse til sin(π/2), som er 1. sin(π/2) er 1. sin(π) er 0. sin(3π/2) er -1. og sin(2π) er 0. Når jeg tegner den, så vil den mellem 0 og 2π se nogenlunde således ud. Vi kan også gå i den negative retning. Når vi går i den negative retning, så er sin(-π/2) lig -1. Ved -π får vi igen værdien 0. Ved -3π/2 får vi, at sinus er lig 1. Ved -2π får vi igen 0. Grafen kommer til at se nogenlunde således ud på den negative side, når vi går fra 0 til -2π. Dette stemmer med alt, hvad vi ved om sinus og perioden af sin(x). Den har en koefficient på 1, så perioden er 2π over den numeriske værdi af 1, som naturligvis er lig 2π. Du kan se her, at perioden er 2π. Det tog os en længde på 2π, at få det mindste gentagende mønster. Hvad er amplituden? Værdien varierer mellem 1 og -1. Den samlede afstand mellem minimum og maksimum er 2, og det halve af det er 1. Eller man kan sige, at der er en afstand på 1 til middelværdien. Det var lige ud af landevejen. Lad os skifte gear. Lad os tegne y = 2sin(x). -- lad mig lige indsætte nogle akser -- Hvad sker der, når vi nu har y = 2sin(x)? Hvordan ændres grafen? Vi ganger blot denne funktion med 2, så dens værdier vil blive dobbelt så store. 2 gange 0 er 0. 2 gange 1 er nu 2. -- jeg skal vist lige passe på -- 2 gange 1 er 2. Det er ved π/2. 2 gange 0 er 0. 2 gange -1 er -2. 2 gange 0 er 0. Den vil se nogenlunde således ud mellem 0 og 2π. Hvis vi fortsætter i den negative retning, 2 gange -1 er -2. 2 gange 0 er 0. 2 gange 1 er 2. 2 gange 0 er 0. I den negative retning vil den se nogenlunde således ud. -- mit bedste forsøg på at lave en forholdsvis blød kurve -- Forhåbentlig kan du se, at den vil se nogenlunde således ud. Hvordan gik det til? Forskellen mellem minimumværdien og maksimumværdien steg med en faktor på 2. Den samlede forskel er 4. Halvdelen af det er en forskel på 2. Hvad er amplituden? Amplituden er 2. Du kan sige den numeriske værdi af 2. Det giver mening. Amplituden var her 1, men nu går grafen længere væk fra neutrallinjen, da du har ganget med 2. Lad os gå tilbage til sin(x) og nu ændre den til sin(-x). Jeg henter lige mine akser frem. Nu skal vi tegne grafen for y = sin(-x). Jeg fjerner dette 2-tal og går direkte fra sin(x) til sin(-x). Hvad sker der med værdierne? Når x er 0, så har vi stadig sin(0), som er 0. Men nu stiger x. Hvad sker der, når x er π/2? Den vinkel vi indsætter i sinus skal ganges med dette negative fortegn. Når x er π/2, så svarer det til at sige sin(-π/2). Hvad er sinus til -π/2? Vi kan se lige her, at det er lig -1. Når x er lig π, så kan vi se, at sin(-π) er lig 0. Når x er 3π/2, så svarer det til sin(-3π/2), som er 1. Endnu engang, når x er 2π, så bliver det sin(-2π), som er 0. Bemærk, når jeg tegner grafen mellem 0 og 2π, så blev jeg ved med at bruge punkterne i den negative retning. Jeg har taget denne negative side mellem 0 og -2π og vendt den henover og fået dette. Det er, hvad -x gør. Vi kan bruge samme logik, når vi går i den negative retning. Når x er lig -π/2, så sætter vi endnu et negativt fortegn foran og det bliver sin(π/2), som er lig 1. Du kan også vende den over y-aksen. Vi har spejlet grafen for sin(x) i y-aksen. Du kan forhåbentlig se, at -x svarer til en spejling. Nu kan vi så lave dem begge. Vi har 2 her foran og -x inden i. Lad mig igen hente akserne. Lad os nu gøre det vi blev bedt om. -- jeg vælger en ny farve, blå -- Lad os tegne grafen for y = 2sin(-x) ved at bruge, hvad vi allerede ved. Hvilke transformationer skal vi lave? Vi går fra den oprindelige sin(x) til y = 2sin(-x). Du kan gøre det på to måder. Du kan enten tage grafen for 2sin(x), hvor der er ganget med 2, så amplituden bliver dobbelt så stor og du kan dernæst vende den, så vi får -x. Lad mig lige gøre det mere tydeligt, hvad vi vender. Grafen mellem 0 og -2π vendes over eller spejles i y-aksen. Jeg tegner den negative del først og så den positive del. Når jeg går fra 2sin(x) til 2sin(-x), så spejler jeg i y-aksen. For at bestemme grafen mellem 0 og -2π, så skal vi blot se mellem 0 og 2π. Den går op og ned. -- lad mig lave den lidt pænere -- Ned og så op. Dette er en spejling af det der var mellem 0 og 2π. Eller du kan starte med sin(-x) og gå til 2sin(-x). Hvad sker der mellem sin(-x) og 2sin(-x)? Hvad er forskellen mellem denne graf og denne graf? Vi har gjort amplituden dobbelt så stor ved at gange med 2. Amplituden er blevet dobbelt så stor. Det sidste jeg spørger om er, hvilken sammenhæng er der mellem perioden af 2sin(-x) og perioden af sin(x)? Du kan anskue dette på to måder. Du kan kigge på graferne eller du kan måske blot bruge forskrifterne. I den oprindelige forskrift er perioden 2π. Du kan dividere med den numeriske værdi af denne koefficient for at finde ud af, hvor meget hurtigere vi får 2π. Den numeriske værdi af -1 er 1, så vi får 2π. Du har nøjagtig den samme periode som sin(x). Du kan se det her. Du gennemfører en cyklus for hver 2π. Hvad er forskellen? Perioden er den samme. Dette negative fortegn er ikke helt glemt. Det ændrer ikke perioden, men det ændrer grafens udseende. Når x stiger, i stedet for at sinus bliver positiv, som i den oprindelige sinusfunktion, når x stiger, så tager du sinus til -x. Du tager sinus til en negativ vinkel, så du starter med at have negative værdier af sinus. Men det er også en spejling af sin(x) i y-aksen. Disse to er spejlinger og disse to er spejlinger. Amplituden af denne er to gange amplituden af denne her og denne her er to gange amplituden af den der.