Bevis for den trigonometriske grundrelation

Lad os gennemgå enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner. Her har jeg tegnet en enhedscirkel og når man siger enhedscirkel, så menes en cirkel med radius 1. Dette punkt her er (1,0), x er lig 1 og y er lig 0. Dette punkt er (0,1). Dette punkt er (-1,0) og dette punkt er (0,-1). Radius, altså afstanden fra cirklens centrum, som forresten ligger i origo, til et vilkårlig punkt på cirklen er 1. Enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner bruger egenskaber ved denne cirkel, deraf navnet. Vi definerer en vinkel til at have det ene vinkelben langs den positive x akse og vi kigger så på, hvor det andet vinkelben skærer enhedscirklen. Lad os kalde det vinkel θ. Vi definerer sin(θ) og cos(θ) som y- og x-koordinaterne til dette punkt, retningspunktet. Ikke det der ligger på det vinkelben, der ligger på den positive x-akse. Det punkt der ligger her. Vi siger, at x-koordinaten af dette punkt, den værdi lige her, svarer til cos(θ). y-koordinaten til det punkt lige her svarer til værdien af sin(θ). I tidligere videoer om enhedscirklen har vi snakket om, at dette er udledt af Mod Hos ModHos reglen, som også virker for negative vinkler og vinkler på 90 grader, samt vinkler der er større eller mindre end 90 grader. Den er rigtig rigtig nyttig. Nu vil jeg bruge det vi allerede ved om enhedscirklen definition af de trigonometriske funktioner til at bevise den trigonometriske grundrelation. Dette punkt lige her ligger på en cirkel med radius 1. Hvad er cirklens ligning for en cirkel med radius 1 og centrum i origo? Ligningen er x² ... -- vi har set andre videoer, hvor vi gennemgår dette ved at bruge afstandsformlen, som er udledt af Pythagoras' læresætning -- Ligningen for en enhedscirkel med centrum i origo er x² + y² = 1, altså er lig radius i anden. Denne afstand er lig 1. Vi har defineret cos(θ), som x-koordinaten af dette punkt her, og vi har defineret sin(θ) som y-koordinaten af dette punkt, der ligger på cirklen, så det opfylder denne sammenhæng her. Det betyder, når vi definerer cos(θ) som denne x-værdi og sin(θ) som denne y-værdi, og denne sammenhæng opfyldes, så er kvadratet på cos(θ) + kvadratet på sin(θ) = 1. Eller sin²(θ) + cos²(θ) = 1 cos(θ) er x-koordinaten og sin(θ) er y-koordinaten. De skal opfylde denne ligning, som definerer cirklen, så cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Vi har set i andre videoer at dette kaldes for den trigonometriske grundrelation. Hvorfor er den nyttig? Når vi kender sin(θ), så kan vi finde ud af, hvad cos(θ) er og omvendt. Hvis du kender cos(θ), så kan du finde ud af, hvad sin(θ) er, og dernæst kan du finde ud af, hvad tan(θ) er, da tan(θ) er sin(θ) / cos(θ). Hvis du er smule forvirret over, hvorfor den hedder den trigonometriske grundrelation, så har det at gøre med, hvor cirklens ligning kommer fra. Når vi bruger dette punkt, hvor x-koordinaten er cos(θ) og y-koordinaten er til sin(θ), hvad er så afstanden mellem punktet og origo? Lad os konstruere en retvinklet trekant. For at dette gælder i en vilkårlig kvadrant, så jeg skriver, at den numeriske værdi af cos(θ) er lig denne afstand lige her. Og denne afstand lige her, det er den numeriske værdi af sin(θ). Jeg behøver naturligvis ikke skrive den numeriske værdi, når jeg er i den første kvadrant, men hvis jeg var i en anden kvadrant, så skal jeg bruge den absolutte værdi. Hvad ved vi, når vi bruger Pythagoras' læresætning? Dette er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 1. Derfor ved vi, at kvadratet på den numeriske værdi af cos(θ) plus kvadratet på den numeriske værdi af sin(θ) er lig med kvadratet på hypotenusen, som er det samme som 1 i anden. Når du tager kvadratet af noget negativt, så svarer det til noget negativt gange noget negativt, som bliver positivt, så dette er det samme som at sige cos²(θ) + sin²(θ) = 1 Det er derfor reglen på engelsk kaldes for Pythagoras' identitet. Det er også herfra, at cirklens ligning udledes. På dansk hedder det den trigonometriske grundrelation.