Brug af den trigonometriske grundrelation

Vi får at vide, at en vinkel θ (theta), som måles i radianer, er mellem -3π/2 og -π. Den er større end -3π/2 og mindre end -π. Vi får også at vide, at sin(θ) = 1/2. Kan vi ud fra denne information finde ud af, hvad tan(θ) er? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og forsøge at lave den selv. Hvis du ikke kan komme i gang, så kan jeg give dig et hint. Du skal bruge den trigonometriske grundrelation, der siger at sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Lad os løse den sammen. Vi ved, at den trigonometriske grundrelation siger sin²(θ) + cos²(θ) = 1 Vi ved, hvad sin²(θ) er lig med. sin(θ) = 1/2. Det kan omskrives til (1/2)² + cos²(θ) = 1. Eller vi kan omskrive det til 1/4 + cos²(θ) = 1. Vi kan trække 1/4 fra på begge sider og vi får cos²(θ) er lig -- vi trækker 1/4 fra på venstre side og 1/4 fjernes. Det er hele pointen. 1 - 1/4 er 3/4. Hvad er cos(θ)? Når jeg tager kvadratet af det, så får jeg +3/4. Det er enten den positive eller negative kvadratrod af 3/4. cos(θ) er lig den positive eller negative kvadratrod af 3/4, som er det samme som plus eller minus √3 over √4, som er 2. Men hvordan finder vi ud af, hvilken en af dem det er? Nu bliver denne information nyttig. Nu tænker du så, hvorfor skal jeg finde cos(θ)? Hvis du kender sin(θ) så kender du cos(θ), så er tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Du kan dermed udregne tan(θ). Men lad os kigge på enhedscirklen og finde ud af, hvilken værdi af cosinus vi skal bruge. Lad mig tegne enhedscirklen. Dette er y-aksen. Dette er x-aksen. Nu tegner jeg enhedscirklen i lyserød. Dette er mit bedste forsøg på at tegne en cirkel. Tilgiv mig at den ikke er perfekt rund. Det står θ er større end -3π/2. Hvor er -3π/2? Lad mig se. Dette er den ene side af vinklen Lad mig bruge en anden farve. Den ene side af vinklen ligger langs den positive x-akse. Vi skal finde ud af, hvor den anden side ligger. Dette her her -π/2. Dette er -π. -- lad mig gøre det mere tydeligt -- -π er lige her. Den ligger mellem -π og -3π/2. -3π/2 er lige her. Så vores vinkel θ er her et sted. Denne bue her svarer til θ. Så grunden til, at jeg lavede alt dette er for at finde ud af, om cos(θ) er positiv eller negativ. Vi kan tydeligt se, at den er i anden kvadrant. cos(θ) er x-koordinaten af dette punkt, hvor vinklen skærer enhedscirklen. Dette punkt her, -- lad mig lave det i orange -- dette her er cosinus til theta Er det en positiv eller negativ værdi? Det er tydeligvis en negativ værdi. Så i dette eksempel er cos(θ) ikke den positive, men den negative. Vi kan skrive, cos(θ) = -√3/2. Vi ved nu, hvad cosinus til theta er, men vi skal finde ud af, hvad tan(θ) er. Vi skal huske, at tan(θ) er lig sin(θ) / cos(θ). Vi ved, at sin(θ) = 1/2, så det bliver 1/2 / cos(θ) som er -√3 / 2. Hvad er det lig med? Det er dette samme som as 1/2 gange det reciprokke til dette. Så gange -2 / √3. Disse to går ud med hinanden og tilbage har vi -1 / √3. Der er nogle, der ikke kan lide, at have et rodtegn i nævneren. Det kan vi fjerne ved at gange med √3 / √3. Nu bliver det lig -√3 / 3, som svarer til tangens til denne vinkel lige her. Det giver faktisk mening, da tangens til vinklen er hældningen af denne linje, og vi kan se, den har en negativ hældning.