Introduktion til radianer

Du er nok vant til at bruge grader til at måle vinkler. Vi bruger begrebet i daglig tale. Vi har set nogle videoer, hvor du har set at en vinkel som denne måske kaldes en 30-graders vinkel. Og en vinkel som denne kaldes en 90-graders vinkel. Og vi bruger ofte dette symbol. Hvis du laver en vinkel på 180 grader, så har du faktisk lavet en ret linje. -- Lad mig lige lave ordentlige vinkler -- Hvis du går 360 grader, så er du gået en hel omgang. Når du ser skøjteløbere lave piruetter i OL så siger man, at de lavede en rotation på 360. Det samme sker i skateboarding og andre lignende steder. Begrebet grader er dog menneskeskabt. Og det er ikke den eneste måde, at måle vinkler på. Hvorfor siger vi, at 360 grader svarer til en hel rotation? Der er forskellige teorier. Jeg opfordrer dig til at tænke over det? Hvorfor har vi valgt 360 grader som en hel rotation? Der er et par teorier. Den ene handler om ældgamle kalendere. Vor dages kalender er tæt på, men gamle kalendere var baseret på 360 dage på et år. Nogle astronomer havde observeret, at tingene flyttede sig 1/360 af himlen per dag. En anden teori er, i det gamle Babylonien der holdt man meget af ligesidede trekanter. Så de havde et 60tals system De havde 60 symboler. Vi har kun 10, da vi har et 10tals system. De havde 60. I vores system kan vi lide at opdele tingene i 10. De kunne sikkert godt lide at opdele ting i 60. Hvis du havde en cirkel og du opdeler den i 6 ligesidede trekanter og hver af disse opdeles i 60 dele, fordi du har et 60tals system, så ender du med 360 grader. Hvad vi skal se på i denne video er en alternativ måde at måle vinkler på. Umiddelbart giver den måske ikke meget mening, men den er mere matematisk end enheden grader. Den kommer ikke fra 60-tals systemer eller astrologiske mønstre, Man kan sige, at et rumvæsen på en anden plantet vil ikke bruge grader, især hvis grader er baseret på astronomiske fænomener. Men de kan tænkes, at bruge det vi nu skal definere som radianer. Radianer har noget matematisk smukt over sig. Lad os kaste os ud i det og definere, hvad en radian er. Lad mig tegne en cirkel. Mit bedste forsøg på en cirkel Ikke dårlig. Lad mig afmærke centrum og radius. Du har måske tænkt over, at ordet radius lyder meget som radianer. Det er ikke tilfældigt. Lad os sige, at cirklen har en radius med længden r. Lad os lave en vinkel, som jeg kalder theta (θ). Lad os antage at denne vinkel har præcis den størrelse, der gør, at den cirkelbue, som den udspænder -- det lyder måske lidt svært, men det betyder den del af cirkelbuen, der skæres af de to vinkelben -- Vinkel theta θ udspænder denne cirkelbue. Lad os sige, at θ har præcis den størrelse, der gør at den udspænder en cirkelbue med samme længde som cirklens radius. Cirkelbuen har længden r. Ud fra dette, hvordan vil du definere en nye type af vinkel måleenhed, som du kalder en radian, fordi det lyder som radius? Hvor mange radianer vil du definere, at denne vinkel er? Det mest oplagte, når radianer svarer til, at sige radiusser eller radier, og den udspændte cirkelbue har længden 1 radius, er at den måler 1 radian. Hvilket er præcist sådan en radian er defineret. Når du har en cirkel, og du har en vinkel på 1 radian, så udspænder den en cirkelbue med en længde på præcis 1 radius. Hvilket er yderst nyttigt, når vi begynder at bruge andre cirkler. Når du bruger grader, så skal du faktisk lave en del matematik og bruge omkredsen med mere for at finde ud af, hvor mange radier der er udspændt af en given vinkel. Når vinklen er i radianer, så du ved præcis hvor lang cirkelbuen er, som vinklen udspænder. Lad os gå lidt videre. Når vi ved dette, hvad er vinklen i radianer -- jeg tegner lige endnu en cirkel -- Der er centrum og vi starter her. Hvor mange radianer er denne vinkel? Du kan tænke på det som radiusser. Hvad er vinklen? En hel omgang i grader, det er 360 grader. Ud fra denne definition, hvor mange radianer er det? Lad os kigge på den cirkelbue vinklen udspænder. Den cirkelbue vinklen udspænder. svarer til en hele cirklens omkreds. Hvad er omkredsen af en cirkel udtrykt i radiusser? Dette har længden r, altså radius har længden r. Hvad er så cirklens omkreds udtrykt med r? Det ved vi godt. Den er 2π r. Hvad er længden af den cirkelbue, der udspændes af denne vinkel i radiusser? Den er 2π radier. 2π gange r. Denne vinkel her, lad os kalde den x, x er 2π radianer. Den udspænder en cirkelbue, der har længden 2π radier. Hvis radius er 1 enhed, så er dette 2π gange 1, 2π radier. Når vi ved dette, lad os så finde ud af at omregne mellem radianer og grader og omvendt. Vi kan blot fortsætte herfra. En hel omgang er 2π radianer, hvor mange grader er det? Det ved vi allerede. En hel omgang er 360 grader. Jeg kan enten skrive det med ord eller jeg kan bruge dette lille grad symbol. Lad mig skrive det med ord. Det gør det måske lidt mere tydeliget, at vi i begge tilfælde bruger enheder. Vi kan omskrive dette en smule ved at dividere med 2 på begge sider. På venstre side får vi π radianer er lig, hvor mange grader? Det er lig 180 grader. Jeg kan skrive det sådan eller sådan. Dette er 180 grader og det svarer til at gå halvvejs rundt om cirklen. Cirkelbuen udspændt af denne vinkel er en halv omkreds. En halv omkreds er lig π radier. Så vi kalder dette for π radianer. π radianer er 180 grader. Vi kan bruge dette til at lave omregninger. Hvor mange grader er 1 radian? Vi skal dividere på begge sider med π. På venstre side har du 1 radian tilbage. Lad mig lige gentage, hvad jeg gør her. Der er intet mystik over det. Jeg dividerer begge sider med π. På venstre sider er der 1 radian tilbage og på højre side er der 180/π grader. 1 radian = 180/π grader. Det ligner en spændende måde at omregne på. Hvis vi har 1 grad, hvor mange radianer er det? Lad mig skrive dette igen. π radianer = 180 grader. Hvad er 1 grad? Lad os isolere 1 grad. Vi kan dividere på begge sider med 180. På venstre side har vi π/180 radianer = 1 grad. Det virker måske en forvirrende og skræmmende. Det var det for mig, da jeg først lærte det, især fordi vi ikke bruger det i vores hverdag. I de næste eksempler vil du se, når blot vi husker på, at 2π = 360° eller π radianer er lig 180 grader. To ting jeg husker på, så kan vi altid gen-udlede disse. Hvis du ikke kan huske, om det er π/180 eller 180/π, så skal du blot huske på, at 2π radianer = 360 grader. Vi vil lave en masse eksempler i den næste video, så disse omregninger bliver velkendte.