De trigonometriske funktioner & trigonometriske forhold i retvinklede trekanter.

Her til højre har vi en masse udtryk, der er forhold lavet ud fra information, vi kan finde i disse to diagrammer. Her til venstre har vi sinus til vinkel MKJ, cosinus til vinkel MKJ og tangens til vinkel MKJ. Vinkel MKJ er denne vinkel lige her θ, så disse to vinkler er lige store. Det kan vi se lige her. Vi skal finde ud af, hvilke af disse udtryk der er tilsvarende med disse udtryk hernede. Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og se om du selv kan løse den. Jeg går ud af, at du selv har forsøgt, lad os nu forsøge at lave den sammen. Når du ser på diagrammerne, så skal det til venstre vise enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner, da der er vist en enhedscirkel lige her. Her kan du bruge Mod Hos ModHos reglen, da vi har en helt almindelig retvinklet trekant. Lad os lige minde os selv om Mod Hos ModHos reglen, da jeg har på fornemmelen, at vi skal bruge den. Sinus er den modstående katete over hypotenusen. Cosinus er den hosliggende katete over hypotenusen. Tangens er den modstående katete over den hosliggende katete. Vi skal bruge disse, men lad os lige minde os selv om enhedscirklens definition af de trigonometriske funktioner, hvor cosinus til en vinkel svarer til x-koordinaten og sinus svarer til y-koordinaten af retningspunktet I denne video skal vi se, at enhedscirklens definition er udledt af Mod Hos ModHos reglen. Lad os først se på x over 1. x er x-koordinaten, men det er også længden af denne side, som i forhold til theta (θ) er den hosliggende side. x svarer til den hosliggende side. Hvad er 1? Da dette er en enhedscirkel, så svarer det til længden af radius, som i denne retvinklede trekant svarer til hypotenusen. Hvis vi bruger Mod Hos ModHos reglen, så svarer x over 1 til hosliggende over hypotenusen. Det er cosinus. Dette er lig cosinus til θ (theta), men θ er det samme som vinkel MKJ. Da de er lige store, så er cosinus til vinkel MKJ lig cosinus til θ, som er lig x over 1. Lad os gå videre med y over 1. y er længden af denne side lige her. -- lad mig vise det i blåt -- y er denne side, der i forhold til θ er den modstående side. Hvilken trigonometrisk funktion er den modstående over hypotenusen? Det er sinus til θ. Sinus til vinkel MKJ er det samme som sinus til θ. Vi kan se, at de er lige store, og vi kan se, at de svarer til y over 1. For begge disse brugte jeg Mod Hos ModHos reglen, men jeg kunne også have brugt enhedscirklens definition. x over 1 det er det samme som x. Enhedscirklens definition siger, at x-koordinaten til retningspunktet, hvor denne halvline skærer enhedscirklen, den svarer til cosinus til denne vinkel. x er lig cosinus til denne vinkel. Enhedscirklens definition siger, y-koordinaten er lig med sinus til denne vinkel. I stedet for x og y, så kunne vi have skrevet cos(θ) og sin(θ). Her har vi x over y. Vi har hosliggende over modstående. Tangens er modstående over hosliggende, ikke hosliggende over modstående. Dette er det reciprokke af tangens. Dette er lig 1 / tan(θ). Vi skal senere lære, at dette svarer til cotangens, men det er ikke en af vores muligheder. Så vi kan udelukke denne her. Så har vi y over x. Den ser god ud. y er den modstående og x er den hosliggende i forhold til vinklen θ. Dette er tan(θ). tan(MKJ) er det samme som tan(θ) som er lig y / x. Lad os se på j over k. Vi går nu hen til trekanten og finder j over k. I forhold til denne vinkel, som er den vinkel vi er interesserede i, så er j længde af den hosliggende side og k er længden af den modstående side. Dette er hosliggende over modstående. Tangens er modstående over hosliggende, ikke hosliggende over modstående. Dette er igen det reciprokke til tangens, som ikke er en mulighed, så den kan vi udelukke. k over j. Det er modstående over hosliggende. Det er lig tan(θ) eller tan(MKJ). Dette er lig k over j. Nu har vi m over j. Hypotenusen over hosliggende katete. -- dette er lig med hypotenusen -- hypotenusen over hosliggende. Hvis det var hosliggende over hypotenusen, så var det cosinus, men det er den reciprokke. Dette er lig 1 / cos(θ), men det er ikke en mulighed, så den udelukker jeg. Så har vi det reciprokke, j over m. Det er hosliggende over hypotenusen, som er cosinus. Det er lig cos(θ) eller cos(MKJ). Dette er lig j over m. Den sidste er k over m. Det er modstående over hypotenusen, som er sin(θ). Denne her er lige sin(θ), som er det samme som sin(MKJ), som er det samme som alle disse udtryk. Dette er lig k over m og vi er færdige.