Enhedscirklen

Jeg har her forsøgt at tegne en enhedscirkel. Når jeg kalder det for en enhedscirkel, så er det fordi den har en radius på 1. Længden fra centrum, som ligger i origo til ethvert punkt på cirklen er altså 1. Hvilke koordinater har vi her? Hvor den skærer x-aksen? x er 1 og y er 0. Hvad er koordinaterne heroppe? Vi er 1 over origo, men vi er hverken gået til venstre eller højre, så x-værdien er 0 og y-værdien er 1. Hvad med her? x-værdien er -1. Vi er gået 1 til venstre, men vi er hverken gået op eller ned, så y-værdien er 0. Og hernede? Vi er gået en enhed ned, eller 1 under origo, men vi har ikke flyttet os i x-retningen, så x er 0 og y er -1. Nu da det er sagt, så vil jeg tegne en vinkel. Jeg vil bruge konventionen for positive vinkler, der siger det ene vinkelben skal altid ligge langs den positive x-akse. Det kan betragtes som udgangspunktet for en vinkel. En positiv vinkel tegnes ved at gå mod urets retning og tegne det andet vinkelben. Postive vinkler går mod urets retning. Det er den konvention jeg bruger, men det er også den, der typisk bruges af andre. En negativ vinkel går i urets retning. Lad mig tegne en positiv vinkel. En positiv vinkel kan se således ud. Det ene vinkelben ligger her og så går jeg mod uret indtil jeg har lavet vinklen og afsætter det andet vinkelben. Dette er den positive vinkel theta θ. Lad os se på skæringspunktet eller retningspunktet mellem dette vinkelben og enhedscirklen. Lad os sige, det har koordinaterne a komma b. x-værdien i skæringspunktet er a. y-værdien i skæringspunktet er b. Pointen med alt dette er, at jeg vil vise, hvordan enhedscirklen kan bruges til at udvide vores definition af de trigonometriske funktioner. Jeg laver vinkel theta θ en del af en retvinklet trekant. Det kan jeg gøre ved at lave en højde her. Dette er en vinkel på 90 grader. Theta indgår i denne ret-vinklet trekant. Lad os kigge på siderne i denne retvinklet trekant. Det første spørgsmål er, hvad er længden af hypotenusen i denne retvinklet trekant jeg har konstrueret? Hypotenusen svarer til radius i enhedscirklen. Enhedscirklen har en radius på 1. Så hypotenusen har en længde på 1. Hvad er længden af den blå side? Den svarer til den modstående side til vinklen. Denne højde svarer præcis til retningspunktets y-koordinat. Højden er derfor lig b. y-koordinten her er b. Denne højde er lig b. Vi kan bruge samme logik for længden af denne side. Grundlinjen i den ret-vinklet trekant. Den svarer til retningspunktets x-koordinat. Hvis du går ned, så er x lig a i dette punkt. Længden fra origo til her er a. Nu da det er gjort, hvad er så cosinus til min vinkel udtrykt med a'er og b'er? For at svare på det, så skal vi bruge vores Mod Hos ModHos regel. Det er den vi er ved at udvide for trigonometriske funktioner. Hos kan bruges til at finde cosinus. Den siger, at cosinus til en vinkel er lig den hosliggende katete over hypotenusen. Hvad er det? For denne vinkel er længden af den hosliggende side lig a. Derfor a over længden af hypotenusen. Den er blot 1. cos(θ) = a. Lad mig lige skrive det ned. cos(θ) = a. Det er lig x-koordinaten til skæringspunktet mellem det andet vinkelben og enhedscirklen. Lad os finde sinus til theta. Hvad er sin(θ)? Vi skal bruge Mod delen af Mod Hos ModHos reglen. Den siger, at sinus er lig den modstående side over hypotenusen. Den modsatte side har længden b. og hypotenusen har længden 1. sin(θ) = b. Det er jo interessant. For koordinaterne til retningspunktet (a,b) gælder at, a svarer til cos(θ) og b er det samme som sin(θ). Vi brugte blot vores Mod Hos ModHos regel. Kan vi udvide brugen af Mod Hos ModHos, da der er et problem med denne regel? Det går jo helt fint, så længe vores vinkel er større end 0 grader og mindre end 90 grader. Da kan vi altid lave vinklen en del af en retvinklet trekant. Men Mod Hos ModHos virker ikke, når vinklen er 0 eller negativ eller større end eller lig 90 grader. Du kan ikke lave en retvinklet trekant med to 90-graders vinkler. Reglen virker ikke længere. Lad mig lige vise, hvad jeg mener. Her er en retvinklet trekant. Her er vinklen ret stor, men jeg kan lave vinklen endnu større og stadig have en retvinklet trekant. Og endnu større, men jeg kommer ikke helt op til 90 grader. Ved 90 grader vil jeg tydeligvis ikke længere have en retvinklet trekant. Den virker ikke længere. Den virker heller ikke, hvis jeg går længere end 90 grader. Lad os se, om vi kan bruge dette her. Lad os lave nye definitioner for trigonometriske funktioner, som er udledt af Mod Hos ModHos, og som stemmer overens med Mod Hos ModHos I stedet for at definere cosinus ved at bruge en retvinklet trekant og sige den hosliggende katete over hypotenusen og sinus er den modstående over hypotenusen og tangens er den modstående over den hosliggende. Hvorfor siger jeg så ikke blot for enhver vinkel, som jeg kan tegne i enhedscirklen ved at bruge denne konvention, så er cosinus til vores vinkel lig x-koordinaten til retningspunktet, altså hvor det andet vinkelben skærer enhedscirklen. Vi kan definere sin(θ) som lig med y-koordinaten til retningspunktet. For enhver vinkel, så er dette punkt defineret som (cos(θ), sin(θ)). Hvad vil være en god definition af tan(θ)? Når vi bruger Mod Hos ModHos, så er tan(θ) lig sin(θ) / cos(θ), som her svarer til y-koordinaten til retningspunktet over x-koordinaten I de næste videoer vil jeg vise nogle eksempler, hvor vi bruger enhedscirklens definitioner til at udregne nogle trigonometriske værdier.