Introduktion til grænseværdier

I denne video vil jeg gøre dig bekendt med idéen om en grænseværdi, der er supervigtig. Det er denne ide al differentialregning bygger på. Men på trods af at den er så supervigtig, er det faktisk en ret simpel ide. Lad mig tegne en funktion her, nej, lad mig definere en funktion. En ret simpel funktion. Lad os definere f(x) = (x-1)/(x-1). Så siger du måske, "Hej Sal, jeg har det samme i tælleren og nævneren. Hvis jeg har noget divideret med sig selv, så bliver det bare lig 1! Kan jeg ikke reducere det til f(x)=1?" Så vil jeg sige, "du har næsten ret, forskellen på f(x)=1 og dette udtryk er, at dette er udefineret for x=1. Lad mig skrive det herovre. Hvis du har f(1), hvad sker der så? I tælleren får du (1-1), hvilket er 0. I nævneren får du (1-1), hvilket også er 0. Alt divideret med 0, inklusiv 0/0, er udefineret. Du kan reducere. Du kan sige, at dette er det samme som f(x)=1, men du må tilføje begrænsningen, at x ikke må være lig 1. Nu er dette og det her tilsvarende. Begge disse er 1 for alle x undtagen 1. Når x=1 bliver det udefineret. Dette er udefineret og det her er udefineret. Hvordan ville jeg tegne denne funktion? Lad mig tegne den. Min y-akse svarer til f(x). Og dette er min x-akse. Lad os sige, at dette er x er lig 1. Dette er derfor x er lig -1. Dette er y er lig 1 og her har jeg -1, ikke at det er så vigtigt for denne funktion. Lad mig afbilde den. For enhver x undtagen 1 vil f(x) være lig 1. Så den kommer til at se således ud. Undtagen for 1, hvor f(x) er udefineret. så jeg laver et lille mellemrum. Denne cirkel viser at funktionen ikke er defineret. Vi ved ikke, hvad funktionen er lig ved 1. Det har vi ikke defineret. Denne forskrift fortæller os ikke, hvad vi gør ved 1. Den er bogstaveligt talt udefineret, når x =1. Dette er funktionen. Hvis nogen spørger, hvad f(1) er? Så går du til x er 1 og hov der er et hul i funktionen. Den er udefineret. Lad mig skrive det igen. Det er lidt overflødigt, men nu skriver jeg igen, at f(1) er udefineret. Men hvis jeg nu spørger hvad funktionen nærmer sig, når x er lig 1? Og nu kommer vi i gang med begrebet grænseværdi. Når x kommer tættere og tættere på 1, hvad nærmer funktionen sig? Hvad kommer funktionen tættere på? På den venstre side uanset, hvor tæt du kommer til 1, så længe du ikke er ved 1, så får du f(x) er lig 1. Her fra den højre side får du det samme. Du vil med tiden blive øvet i dette, når vi har lavet flere eksempler. Vi kan sige at grænseværdien lim står for limit for f(x), når x nærmer sig 1... Vi kan komme uendelig tæt på 1, så længe vi ikke er ved 1, og vores funktion er lig 1. Den kommer tættere og tættere på 1. Den er faktisk 1 hele tiden. I dette tilfælde kan vi sige, at grænseværdien for f(x), når x nærmer sig 1, er 1. Denne fine notation betyder blot, hvad funktionen nærmer sig, når x kommer tættere og tættere på 1. Lad mig lave et andet eksempel, hvor vi har en kurve. Lad os sige jeg har funktionen f(x). Nej lad mig kalde den g(x). Lad os sige, vi har g(x) = x², når x ikke er lig 2 og når x er lig 2, så er den 1. Det er igen en interessant funktion, som ikke er helt kontinuert. Den har en diskontinuitet. Lad mig tegne den. Dette er min y er lig g(x) akse. Dette er min x-akse. Jeg skal finde x er lig 2. Dette er x er lig 1. Dette er x er lig 2, dette er -1 og dette er -2. Alle steder undtagen ved x er lig 2, der er den lig x². Lad mig afbilde det således. Det bliver en parabel, der ser nogenlunde således ud. Lad mig lave en bedre parabel Den ser således ud. Ikke den pæneste parabel i verdens historien, men jeg tror, du kan se, hvad det er. Jeg håber, du ved, hvordan en parabel ser ud. Den skal være symmetrisk, så lad mig lige tegne den igen, da den er ret grim. Det ser bedre ud. Okay, sådan. Dette kunne være grafen for x². Men den er ikke x², når x er 2. Når x er lig 2, så har vi en diskontinuitet, så jeg laver et hul lige her, fordi når x er lig 2, så er funktionen lig 1. På grafen for x² så er ved vi, at dette er 4. Dette er 2, dette er 1 og dette er 3. Når x er lig 2, så er funktionen lig 1. Det er en lidt underlig funktion, men vi kan definere den på denne måde. Du kan definere en funktion, helt som du vil. Den ligner helt grafen for x², bortset fra når x er lig 2, så har den dette hul, da du ikke har g(x) er lig x², når x er lig 2. Har jeg sagt f(x)? Jeg undskylder mange gange. Du kan sige g(x) er lig 1 ved 2. Ved 2, præcist ved 2, går den ned til 1. Og så fortsætter den langs funktionen x². Hvis jeg udregner g(2)? Du kan se i forskriften, når x er 2, så er vi her. Der står, at den er lig 1. Lad mig stille et måske mere interessant spørgsmål. Hvad er grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 2? Fin notation, men der spørges om noget ret enkelt. Der står, når x kommer tættere og tættere på 2, når du kommer tættere og tættere på, hvad nærmer g(x) sig? Hvis du prøver 1,9 og 1,999 og 1,999999 og så 1,9999999, hvad nærmer g(x) sig ? Eller hvis du kommer fra den positive retning. Hvis du prøver 2,1. Hvad er g(2,1)? Hvad er g(2,01)? Hvad er g(2,001)? Hvad nærmer den sig, når vi kommer tættere og tættere på? Du kan visualisere det ved at tegne grafen. Når x kommer tættere og tættere på 2, her langs grafen, så nærmer vi os 4. Selvom det ikke er hvor den er, da den hopper ned til 1. Grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 2, er 4. Du kan også bruge en lommeregner, og lad mig gøre det, da det bliver spændende. Lad mig hente en lommeregner. Min trofaste TI-85. Her er min lommeregner. Du kan nærme dig 2 ved at indsætte tal. Lad os prøve 1,9. Når x er 1,9, så bruger vi den øverste forskrift. Så du siger 1,9². Du får 3,61. Hvad hvis du er tættere på 2? 1,99². Nu får jeg 3,96. Hvad med 1,999²? Jeg får 3,996. Bemærk jeg kommer tættere og tættere på vores punkt. Hvis jeg kommer rigtig tæt på, 1,9999999999², hvad får jeg så? Det er ikke præcist 4, lommeregneren har rundet op, men det bliver et tal meget meget meget meget meget tæt på 4. Vi kan også komme fra den positive retning. Det skal være det samme tal, uanset om vi nærmer os nedefra eller fra oven. Hvis vi prøver 2,1², så får vi 4,4. Hvis vi prøver 2,0001, som er meget tættere 2, og vi tager kvadratet, så får vi et tal meget tæt på 4. Jo tættere vi kommer til 2, jo tættere kommer vi på 4. Dette er en numerisk metode til at bestemme grænseværdien for g(x), når x nærmer sig 2 fra begge retninger. Selvom funktionen lige ved 2 er lig 1, da den er diskontinuert, så er grænseværdien, når vi kommer tættere og tættere på 2 lig 4.