If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

8. klasse

Emne: (8. klasse > Emne 5

Modul 5: Pythagoras' læresætning og afstand mellem to punkter
Matematik
8. klasse
Geometri
Pythagoras' læresætning og afstand mellem to punkter
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Afstandsformlen

Google Classroom
Gennemgang af at finde en formel for afstanden mellem to punkter.
start color #11accd, start text, A, f, s, t, a, n, d, e, n, end text, end color #11accd mellem punkterne left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis og left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis i koordinatsystemet er givet ved formlen:
square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
I denne artikel kigger vi nærmere på, hvordan vi kommer frem til formlen!

Udledning af afstandsformlen

Lad os starte med at afsætte punkterne left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis og left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis.
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x2 komma y 2.
Længden af linjestykket mellem de to punkter er start color #11accd, start text, a, f, s, t, a, n, d, e, n, end text, end color #11accd imellem dem:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x2 komma y 2. En ret linje forbinder de to punkter.
Vi vil gerne finde start color #11accd, start text, a, f, s, t, a, n, d, e, n, end text, end color #11accd. Hvis vi tegner en retvinklet trekant, kan vi bruge Pythagoras' læresætning!
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
Vi kan udtrykke længden af grundlinjen som start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje mærket x 2 minus x 1 forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
På tilsvarende måde kan vi udtrykke længden af højden som start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje mærket x 2 minus x 1 forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje mærket y 2 minus y 1 forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning til at opstille en ligning:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, squared, equals, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared
Vi kan finde værdien af start color #11accd, question mark, end color #11accd ved at tage kvadratroden på begge sider:
start color #11accd, question mark, end color #11accd, equals, square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root
Det var det! Vi har nu udledt afstandsformlen ud fra Pythagoras' læresætning!
Faktisk behøver du ikke at huske formlen udenad - hvis du vil finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem, kan du altid tegne en retvinklet trekant, finde længden af kateterne ved at bruge koordinaterne og til sidst indsætte i Pythagoras' læresætning.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.