Afstandsformlen

. I den her video skal vi se, hvordan man kan finde afstanden mellem 2 punkter i vores koordinatsystem. Vi vil se, at det faktisk ikke er andet end en anvendelse af Pythagoras' læresætning. Lad os starte med et eksempel. Lad os sige, at vi har et punkt. Vi bruger en mørk farve, så den er til at se her. Lad os sige, at vi har punktet 3 komma minus 4. Lad os afbilde det. 1, 2, 3, og så går vi 4 ned. 1, 2, 3, 4. Her. Det her er 3 komma minus 4. Lad os sige, at vi også har punktet 6 komma 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, og vi skal ikke bevæge os langs med y-aksen. Punktet er på x-aksen. y-koordinatet er 0, så punktet er 6 komma 0. Vi vil finde afstanden mellem de 2 punkter. Hvor langt er det blå punkt fra det orange punkt? Først tænker man måske, at vi ikke aner, hvordan man skal løse en opgave som den her. Hvordan kan vi overhovedet sige, vi skal anvende Pythagoras' læresætning her? Der er jo ingen trekant. Hvis man ikke kan se en trekant umiddelbart, kan vi lige tegne den. . Vi tegner en trekant her. Sådan. Lad os bruge en masse farver, så det er helt tydeligt. Her er vores trekant. Man kan se med det samme, at det er en retvinklet trekant. Det her er en retvinklet trekant. Grundlinjen går vandret fra venstre mod højre, og den højre side går lodret nedefra og op. Vi har altså en retvinklet trekant. Hvis blot vi kan finde ud af, hvor lang grundlinjen er, og hvad højden er, kan vi bruge Pythagoras' sætning til at finde den lange side modsat den rette vinkel, altså hypotenusen. Det her, altså den afstand, er hypotenusen i den retvinklede trekant. Lad os skrive det ned. Afstanden er lig med hypotenusen i den retvinklede trekant. Lad os tegne det lidt større. Det her er hypotenusen. Vi har så siden her til højre, som går lodret op og ned, og vi har vores grundlinje her. Lad os kalde afstanden for d. d står for distance, som er det samme som afstand. Det er længden af hypotenusen. Hvordan finder vi længden af den lodrette side og den vandrette side her? Lad os først se på den vandrette linje, nemlig grundlinjen. Hvad er dens afstand? Det kan vi næsten tælle, når vi har det i et koordinatsystem. Lad os lige skifte til grøn. Her er vi ved x er lig med 3, og her er vi ved x er lig med 6. Vi bevæger os mod højre. Det her er det samme som den afstand her. For at finde den afstand tager vi den sidste x-værdi og trækker den første fra. Man kan også gøre det omvendt, fordi vi alligevel skal have tingene i anden, så det gør ikke noget, hvis vi får negative tal. Afstanden her er altså 6 minus 3. 6 minus 3. Den her afstand er lig med 3. Nu har vi fundet længden af grundlinjen. Den er lig med ændringen i x. Den er lig med det største x minus det mindste x. 6 minus 3. Det er vores delta x. Vi kan så nok tænke os til, at højden her er lig med ændringen i y. Her er vi ved y er lig med 0. Det er der, vi ender. Det er vores højeste y-værdi. Her er vi ved y er lig med minus 4. Vores ændring i y er altså lig med 0 minus minus 4. Vi tager den største y-værdi minus den mindste y-værdi. Man kan dog godt gøre det omvendt, og så får man et negativt resultat, men det gør ikke noget, fordi vi alligevel skal have tallene i anden om lidt. Svaret her er altså 4. Den her side er 4. Her kunne vi også have talt det. Den her side er lig med 3. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning. Den her afstand i anden. Vi skal huske i anden. Den er lig med delta x eller ændringen i x i anden plus ændringen i y i anden. . Det er der ikke noget magi ved. Nogen kalder det her for afstandsformlen. Det er ikke andet end en anvendelse af Pythagoras' læresætning. Den her side i anden plus den her side i anden er lig med hypotenusen i anden, fordi det her er en retvinklet trekant. Lad os bruge de tal, vi har fundet frem til. Afstanden i anden er altså lig med delta x i anden, som er 3 i anden, plus delta y i anden, som er 4 i anden. Det er lig med 9 plus 16, som er lig med 25. Afstanden i anden eller d i anden er altså lig med 25. Nu skal vi tage kvadratroden, men det skal være den positive kvadratrod, fordi en afstand ikke kan være negativ. d er altså lig med kvadratroden af 25, som er lig med 5. Længden her er altså 5. Den her afstand, som oprindeligt var den, vi skulle finde, er altså 5. Hvor langt er det her punkt fra det her punkt? Det er 5 enheder væk. Det, som nogle kalder afstandsformlen, er altså i virkeligheden Pythagoras' læresætning. Lad os lige se lidt på, hvordan nogle skriver afstandsformlen op, så vi altid kan kende den. Vi har 2 punkter, og det første punkt hedder x1 komma y1. Det er et punkt. Det andet punkt hedder x2 komma y2. Vi gør det her, fordi man kan komme ud for at se afstandformlen skrevet på andre måder. Den her måde, vi skriver afstandsformlen op på nu, kan godt se ret kompliceret ud, men den er faktisk også bare en anvendelse af Pythagoras' læresætning. Vi vil se, at afstanden er lig med kvadratroden af x2 minus x1 i anden plus y2 minus y1 i anden. Sådan her ser afstandsformlen ud i mange matematikbøger. . Det er spild af tid at huske alt det, fordi det nemlig ikke er andet end Pythagoras' læresætning. Det her er ændringen i x. Det betyder ikke noget, hvilket x vi vælger først, for hvis vi får en negativ værdi, bliver den nemlig positiv, når vi kvadrerer den. Det her er ændringen i y. Det her betyder altså, at hvis vi kvadrerer begge sider af den her ligning, har vi afstanden i anden, og så vil kvadratrodstegnet forsvinde. Afstanden i anden vil være lig med ændring i x i anden, som vi også kalder delta x, plus ændringen i y i anden, som vi også kalder delta y. Det her delta kan være lidt forvirrende, men det betyder ændringen i. Delta betyder ændringen i. Det er godt at huske. Lad os bruge den her formel på nogle tilfældige punkter. Lad os sige, at vi har punktet 1, 2, 3, 4, 5, 6. Minus 6 komma minus 4. . Vi vil finde afstanden mellem det og 1 komma 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7. Afstanden mellem det og punktet 1 komma 7. Vi skal bruge samme fremgangsmåde. Vi bruger Pythagoras' læresætning. Vi skal først finde den her afstand, som er ændringen i x, og så den her afstand, som er ændringen i y. Den her afstand i anden plus den her afstand i anden er lig med den her afstand i anden. Lad os gøre det. Først finder vi afstanden i x. Det er ligegyldigt, hvilken x-værdi vi starter med, men det kan ofte være lettere, hvis man tager den største x-værdi minus den mindste x-værdi. Afstanden i anden er altså lig med ændringen i x, som er den største x-værdi, 1, minus den mindste x-værdi, minus 6. 1 minus minus 6 i anden og det er plus ændringen i y i anden. Den største y-værdi er her. Den er 7. Vi har altså 7 minus minus 4. 7 minus minus 4 i anden. De her punkter er helt tilfældige, så det er ikke sikkert, at vi let kan finde kvadratroden til sidst. Vi har altså den her afstand i anden, som er 1 minus minus 6. Det giver 7. Vi kan også tælle os frem til det. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Det her vores tal her. Det er vores ændring i x. Derudover har vi plus 7 minus minus 4. Det giver 11. Det er afstanden her, og den kan vi også tælle, hvis vi gider. Vi går altså 11 op. Vi tager 7 og trækker minus 4 fra det, og det giver en afstand på 11. VI har altså plus 11 i anden, og det er lig med d i anden. Lad os få lommeregneren frem. Afstanden er 7 i anden plus 11 i anden, og det er lig med 170. Afstanden er altså lig med kvadratroden af 170. d i anden er nemlig lig med 170. Lad os tage kvadratroden af 170, og vi får cirka 13,04. Den her afstand, som vi ville finde, er altså 13,04. Forhåbentlig har det her været en brugbar video.