Modellering med lineære funktioner: fitness-medlemsskab og lemonade

. I den her video skal vi løse nogle flere tekstopgaver, der har med linjers ligninger at gøre. Her har vi et tilbud til nye medlemmer i et fitnesscenter. Man kan blive medlem ved at betale et indmeldelsesgebyr på 200 kroner og derefter 39 kroner om måneden. Sådan bliver man medlem. . Vi skal finde ud af, hvor meget det har kostet at være medlem i alt ved slutningen af året. Lad os prøve at opstille en ligning, der beskriver, hvor meget det koster at være medlem. Vi siger, at p er lig med den samlede pris for ens medlemsskab. Når vi starter i fitnesscenteret, betaler vi 200 kroner med det samme for at blive medlem. . 200 kroner. Derefter betaler vi 39 kroner hver måned for at være medlem. Vi ganger altså antallet af måneder, vi er medlem, med 39 kroner. Hvis vi er medlem i 1 måned, skal vi altså betale 1 måned gange 39 kroner. Vi har dog allerede betalt 200 kroner for at blive medlem, så det er i alt 239 kroner. Hvis vi er medlem 2 måneder, skal vi betale 200 kroner for at blive meldt ind og 39 kroner gange 2 måneder. 2 gange 39 er 78, så det giver i alt 278 kroner. Der er altså en sammenhæng mellem antallet af måneder, vi er medlem, og den samlede pris. Lad os prøve at tegne grafen for det. Husk, at en linjes ligning kan være på formen y er lig med mx plus b. Det er en af de måder, man kan skrive en linjes ligning på. Vi kan bytte lidt rundt her for at få det til at være sådan. Vi har altså p er lig med 39m plus 200. Hvad er hældningen, og hvad er y-skæringspunktet? Måske er det forvirrende, at vi før havde x og y, og vi nu har p og m. Det ændrer dog intet. Vi skal dog huske, at det her er den uafhængige variabel, og det her er den afhængige variabel. Det her er den uafhængige variabel. Hvis vi vælger et antal måneder, kan vi altså finde ud af, hvor mange penge det har kostet at være medlem i de måneder. Antallet af måneder svarer til vores x. Det her svarer til vores y. Vi kan så også sige, at det her er vores p-skæringspunkt, eller skæringspunktet på den lodrette akse. Det er det, vi normalt kalder y-skæringspunktet. Her har vi dog p er lig med, så det er faktisk p-aksen, vi vil skære i det punkt. Det her er vores hældning. Lad os nu afbilde den her funktion. Vi gør det ikke helt præcist. Vi tegner det nogenlunde, så man får en idé om, hvad der sker. Faktisk har vi kun brug for første kvadrant, fordi man jo ikke kan være medlem i et negativt antal måneder, og centeret vil nok aldrig betale os penge for, at vi er medlem. Vi starter altså med det samme med at betale 200 kroner. Vi betaler 200 kroner for 0 måneder. Derefter betaler vi yderligere 39 kroner for hver måned, vi er medlem. Hældningen er altså 39. Lad os sige, at vi har en måned her. Det her er antallet af måneder. . Den her akse viser den samlede pris, så den kalder vi p-aksen. Det her er altså p- eller y-skæringspunktet. Hvor mange skal vi betale efter en måned? Vores hældning er 39, så hvis vi bevæger os 1 måned frem, skal vi bevæge os 39 op. Det er altså 239, og det er her. Hvis vi bevæger os en måned mere, ender vi ved 278. Forhåbentlig giver det en idé om, hvad der sker. Linjen, som viser den samlede pris efter et antal måneder, vil altså se nogenlunde sådan her ud. Vi skal finde ud af, hvad prisen er efter et år. Et år er 12 måneder. Vi skal altså bevæge os hele vejen op til 12 måneder. Det er nok cirka her. Så vil linjen være nået her til eller sådan noget. Vi kan dog lettere finde svaret algebraisk. Når året er slut, vil m være lig med 12. Når m er lig med 12, hvad koster vores medlemsskab så? Så vil prisen på medlemsskabet være 200 kroner plus 39 gange antallet af måneder, som jo er 12. HVad er 39 gange 12? 2 gange 9 er 18. 2 gange 3 er 6. 6 plus 1 er 7. Her skriver vi 0. 1 gange 9 er 9. 1 gange 3 er 3. . Vi har altså 8. 7 plus 9 er 16. 1 plus 3 er 4. Prisen for vores medlemskab efter 12 måneder er altså 200 kroner plus 39 gange 12, som er 468 kroner. Det vil sige, at prisen efter et år er 668 kroner. Hvis vi skulle fortsætte linjen til 12 måneder, ville vi altså skulle op til 668, så det ville være et sted langt ude af linjen. Lad os løse en opgave mere. Bobby og Petra har en saftevandsbod, og de tager 0,45 kroner per glas med saftevand. . For at få det til at løbe rundt skal de mindste tjene 25 kroner. Hvor mange glas skal de sælge for at få det til at løbe rundt? Lad os bruge y og x her. y er lig med antallet af penge, de tjener. . . x er lig med antallet af glas, de sælger. . Hvad er y som en funktion af x? y er altså lig med prisen for et glas saftevand, altså 0,45 kroner gange antallet af glas, de sælger. Vi har ikke her noget beløb, de er sikre på at tjene. De skal heller ikke betale en fast pris for at have deres bod. For at få det hele til at løbe rundt skal de altså tjene måned 25 kroner på at sælge saftevand. De skal tjene mindst 25 kroner. Hvor mange glas saftevand skal de sælge? y skal altså være lig med 25 kroner. Hvor mange glas, skal de så sælge? Vi skal prøve at opstille en ligning. Vi siger, at 0,45x skal være lig med 25. Vi kan nu dividere begge sider med 0,45. På venstre side står vi tilbage med x. Vi får, at x er lig med 25 divideret med 0,45. Det er lig med 55,55. De skal altså sælge 56 glas saftevand, fordi man ikke kan sælge 55,55 glas. Vi går ud fra, at man ikke kan sælge et halvt glas saftevand. Svaret her er altså, at de skal sælge 56 glas. . De skal sælge 56 glas saftevand for at få det til at løbe rundt. Lad os prøve at afbilde grafen for det her. Igen skal vi kun bruge første kvadrant, fordi vi kun har med positive tal at gøre. For hvert solgt glas tjener de 0,45 kroner. De sælger x glas. x er antallet af glas de sælger. y er så mange penge, de tjener. Lad os sige, at vi stiger med 5 hver gang her. 5, 10, 15, 20, 25. Nej, vi skal faktisk have endnu større enheder her for at nå så langt op, som vi skal. Lad os bruge 10. 10, 20, 30, 40, 50, 60. Det er antallet af glas saftevand, de sælger. Når de sælger 0 glas, tjener de 0 kroner. Det er altså vores y-skæringspunkt. y er lig med 0. Når de sælger 10 glas, tjener de 4,5 kroner. Det her er 4,5. Det her er 9. Lad os gøre noget her. Lad os bruge 9-tabellen her. 9, 18, 27, 36. Når de sælger 10 glas, tjener de altså 4,5 kroner. 10 gange 0,45. Det er her. Når de sælger 20 glas, tjener de 9 kroner. Vi kan fortsætte her. Ved 40 glas tjener de 18 kroner. Vi kan se hældningen. Når vi bevæger os 10, stiger vi 4,5. Grafen vil se nogenlunde sådan her ud. Det er en lige linje. Vi kan også tegne ind, hvor deres firma løber rundt. Det er ved 25 kroner, og det er cirka her. . Det hele løber rundt ved 25 kroner. . Lad os tegne linjen lidt bedre end det her. Den ser sådan her ud. Vi kan se, at de skal sælge 56 glas for at få det hele til at løbe rundt. Det er selvfølgelig ikke helt tydeligt her, fordi vi ikke har tegnet det så tydeligt, men forhåbentlig kan man se idéen bag.