If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

8. klasse

Emne: (8. klasse > Emne 3

Modul 5: Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + b
Matematik
8. klasse
Lineære ligninger og funktioner
Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + b
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + b

Google Classroom
Lær om linjens ligning på formen y = ax + b, og hvordan man skal fortolke den for at finde hældningen og skæringen med y-aksen.

Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul

Hvad du kan lære i dette modul

  • Hvad er linjens ligning på formen y = ax + b
  • Hvordan man finder en linjes hældning og skæring med y-aksen ud fra dens ligning
  • Hvordan man skriver ligningen for en linje ud fra dens hældning og skæring med y-aksen

Hvad er linjens ligning?

Linjens ligning kan skrives på et par måder, men den mest brugte ser sådan her ud...er du klar?
y, equals, start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Både start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 og start color #0d923f, b, end color #0d923f kan være hvilke som helst to reelle tal. Her er er par eksempler på linjers ligninger på denne form:
  • y, equals, 2, x, plus, 1
  • y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
  • y, equals, 10, minus, 100, x
Disse ligninger er til gengæld ikke på den form:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
Formen y = ax + b er som sagt nok den mest anvendte form en linjes ligning. Lad os kigge lidt nærmere på, hvorfor det er tilfældet.

Værdierne i ligningen på formen y = ax + b

Udover at være pæn at se på er linjens ligning på denne form også en kæmpe fordel i forhold til at se to meget vigtige oplysninger om linjen:
  • Linjens hældning er start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6.
  • y-koordinaten for linjens skæring med y-aksen er start color #0d923f, b, end color #0d923f. Med andre ord skærer linjen y-aksen i punktetleft parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
For eksempel, linjen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f har en hældning på start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, og dens skæring med y-aksen er left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Et koordinatsystem. Begge akser har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 1 til 4. Grafen for ligningen y er lig med 2 x plus 1 er afbildet. Skæring med y aksen i punktet 0 komma 1 er mærket. En stiplet vandret linje går fra 0 komma 1 til 1 komma 1. En lodret stiplet linje går fra 1 komma 1 til 1 komma 3. De to stiplede linjer er samlet mærket hældning er lig med 2.
Det faktum, at denne form giver både linjens hældning og dens skæring med y-aksen er grunden til, at den er blevet standardformen!

Tjek din forståelse

Opgave 1
Hvad er hældningen for linjen med ligningen y, equals, 5, x, minus, 7?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 2
Hvad er hældningen for linjen med ligningen y, equals, x, plus, 9?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 3
Hvad er skæringen med y-aksen for linjen y, equals, minus, 6, x, minus, 11?
Vælg 1 svar:

Opgave 4
Hvad er skæringen med y-aksen for linjen y, equals, 4, x?
Vælg 1 svar:

Opgave 5
Hvad er hældningen for linjen med ligningen y, equals, 1, minus, 8, x?
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3, slash, 5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7, slash, 4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1, space, 3, slash, 4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0, comma, 75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12, space, start text, p, i, end text eller 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Opgave 6
Hvilke linjer skærer y-aksen i left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis?
Vælg alle svar der passer:

Spørgsmål til overvejelse
Hvordan finder vi en linjes hældning ud fra dens ligning?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave 1
Et koordinatsystem. Den vandrette akse er mærket x. Den lodrette akse er mærket y. En ret linje er afbildet der falder fra venstre mod højre. Den skærer den positive y akse.
Hvilken af følgende ligninger kan repræsentere linjen ovenfor?
Vælg 1 svar:

Udfordrende opgave 2
Skriv en ligning for en linje, hvis hældning er 10 og skæring med y-aksen er left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis.

Hvorfor virker dette?

Måske undrer du dig over, hvorfor hældningen er start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 og skæringen med y-aksen er start color #0d923f, b, end color #0d923f, når vi har ligningen på formen y = ax +b .
Er det en slags magi? Det er helt sikkert ikke magi. I matematik er der altid en logisk forklaring. I dette afsnit kigger vi på denne egenskab ved at bruge ligningen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f som eksempel.

Hvorfor start color #0d923f, b, end color #0d923f angiver skæring med y-aksen

Der hvor linjen skærer y-aksen, er x-værdien altid nul. Så hvis vi ønsker at finde skæringen med y-aksen for linjen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, skal vi indsætte x, equals, 0 og isolere y.
y=2x+1=2⋅0+1Indsæt x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Indsæt }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Vi ser, at ved skæringen med y-aksen, bliver start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x lig med nul, og der er derfor kun y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f tilbage.

Hvorfor start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 angiver hældningen

Lad os lige hurtigt repetere, hvad hældning helt præcist er: Hældning er forholdet mellem ændringen i y over ændringen i x mellem to vilkårlige punkter på linjen.
start text, H, æ, l, d, n, i, n, g, end text, equals, start fraction, start text, Æ, n, d, r, i, n, g, space, i, space, end text, y, divided by, start text, Æ, n, d, r, i, n, g, space, i, space, end text, x, end fraction
Hvis vi tager to punkter, hvor ændringen i x er præcis 1 enhed, vil så ændringen i y være lig med hældningen selv.
start text, H, æ, l, d, n, i, n, g, end text, equals, start fraction, start text, Æ, n, d, r, i, n, g, space, i, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, Æ, n, d, r, i, n, g, space, i, space, end text, y
Lad os så se på, hvad der sker med y-værdierne i ligningen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, når x-værdierne konstant øges med 1 enhed.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Vi ser, at hver gang x stiger med 1 enhed, så stiger y med start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 enheder. Det er fordi, x bestemmer, hvor mange gange vi skal gange med start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 i beregningen af y.
Som vi kan se ovenfor, så svarer ændringen i y til linjens hældning, når x stiger med 1 enhed. Det er derfor, at hældingen er start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
-Udfordrende opgave 3
Et koordinatsystem. x aksen har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 1 til 4. y aksen har mærkede markeringer for hver 1 fra minus 3 til 2. En ret linje går gennem punkterne 0 komma minus 3 og 1 komma 1. Begge punkter er afbildet og mærket.
Skriv ligningen for linjen.
y, equals

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.