Hovedindhold
8. klasse
Emne: (8. klasse > Emne 3
Modul 5: Introduktion til linjens ligning på formen y = ax + bIntroduktion til linjens ligning på formen y = ax + b
Lær om linjens ligning på formen y = ax + b, og hvordan man skal fortolke den for at finde hældningen og skæringen med y-aksen.
Hvad du bør have styr på, inden du går igang med dette modul
- Du bør vide hvad en to-variabel lineær ligning er. Specielt bør du vide, at grafen for den slags ligninger er en ret linje. Hvis dette er nyt for dig, så tjek vores introduktion til to-variabel ligninger.
- Du bør også være bekendt med følgende egenskaber for rette linjers ligning: skæring med y-akse og x-akse og hældning.
Hvad du kan lære i dette modul
- Hvad er linjens ligning på formen y = ax + b
- Hvordan man finder en linjes hældning og skæring med y-aksen ud fra dens ligning
- Hvordan man skriver ligningen for en linje ud fra dens hældning og skæring med y-aksen
Hvad er linjens ligning?
Linjens ligning kan skrives på et par måder, men den mest brugte ser sådan her ud...er du klar?
Både start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 og start color #0d923f, b, end color #0d923f kan være hvilke som helst to reelle tal. Her er er par eksempler på linjers ligninger på denne form:
- y, equals, 2, x, plus, 1
- y, equals, minus, 3, x, plus, 2, comma, 7
- y, equals, 10, minus, 100, x
Disse ligninger er til gengæld ikke på den form:
- 2, x, plus, 3, y, equals, 5
- y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
- x, equals, 4, y, minus, 7
Formen y = ax + b er som sagt nok den mest anvendte form en linjes ligning. Lad os kigge lidt nærmere på, hvorfor det er tilfældet.
Værdierne i ligningen på formen y = ax + b
Udover at være pæn at se på er linjens ligning på denne form også en kæmpe fordel i forhold til at se to meget vigtige oplysninger om linjen:
- Linjens hældning er start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6.
- y-koordinaten for linjens skæring med y-aksen er start color #0d923f, b, end color #0d923f. Med andre ord skærer linjen y-aksen i punktetleft parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
For eksempel, linjen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f har en hældning på start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, og dens skæring med y-aksen er left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Det faktum, at denne form giver både linjens hældning og dens skæring med y-aksen er grunden til, at den er blevet standardformen!
Tjek din forståelse
Hvorfor virker dette?
Måske undrer du dig over, hvorfor hældningen er start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 og skæringen med y-aksen er start color #0d923f, b, end color #0d923f, når vi har ligningen på formen y = ax +b .
Er det en slags magi? Det er helt sikkert ikke magi. I matematik er der altid en logisk forklaring. I dette afsnit kigger vi på denne egenskab ved at bruge ligningen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f som eksempel.
Hvorfor start color #0d923f, b, end color #0d923f angiver skæring med y-aksen
Der hvor linjen skærer y-aksen, er x-værdien altid nul. Så hvis vi ønsker at finde skæringen med y-aksen for linjen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, skal vi indsætte x, equals, 0 og isolere y.
Vi ser, at ved skæringen med y-aksen, bliver start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x lig med nul, og der er derfor kun y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f tilbage.
Hvorfor start color #ed5fa6, a, end color #ed5fa6 angiver hældningen
Lad os lige hurtigt repetere, hvad hældning helt præcist er: Hældning er forholdet mellem ændringen i y over ændringen i x mellem to vilkårlige punkter på linjen.
Hvis vi tager to punkter, hvor ændringen i x er præcis 1 enhed, vil så ændringen i y være lig med hældningen selv.
Lad os så se på, hvad der sker med y-værdierne i ligningen y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, når x-værdierne konstant øges med 1 enhed.
x | y | |||
---|---|---|---|---|
0 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f | ||
1 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
2 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
3 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | ||
4 | start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 | equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 |
Vi ser, at hver gang x stiger med 1 enhed, så stiger y med start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 enheder. Det er fordi, x bestemmer, hvor mange gange vi skal gange med start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 i beregningen af y.
Som vi kan se ovenfor, så svarer ændringen i y til linjens hældning, når x stiger med 1 enhed. Det er derfor, at hældingen er start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Vil du deltage i samtalen?
Ingen opslag endnu.