Egenskaber der bevares ved stive transformationer

I denne video skal vi se på hvilke egenskaber ved en figur, der bevare og ikke bevares ved en transformation. Vi skal i denne video især se på drejninger og spejlinger. Begge disse er stive transformationer som betyder at længden mellem tilsvarende punkter ikke ændrer sig. For eksempel i denne cirkel A, som har centrum i punkt A og vi drejer den omkring punkt P. Punkt P er centrum for drejningen. Lad os sige, at vi drejer den en vis vinkel med uret. Vi drejer den denne vej og vores centrum ender lige her. Den nye cirkel, billedet efter drejningen, ser nogenlunde således ud. Jeg tegner den i hånden, så du må tilgive, at det ikke er en særlig pæn cirkel. Men cirklen vil se nogenlunde således ud. Det er tydeligt, eller måske er det knapt så tydeligt, hvad der er bevaret, men det håber jeg det bliver. Hvilke ting er bevaret ved en stiv transformation, som denne drejning? Dette er tydeligvis en drejning. De ting, der er bevaret, er radius af cirklen. Længden af radius, bør jeg hellere sige. Radius er her 2. Radius her er også 2. Omkreds. Hvis radius er bevaret, så vil cirklens omkreds, eller cirkelperiferien, som er en funktion af radius også være bevaret. Den er 2𝜋 gange radius. Derfor er omkredsen også bevaret. Det kan man udlede, da radius er bevaret. Når radius er bevaret, så er arealet også bevaret. Areal er 𝜋 gange r². Da de har den samme radius vil alle disse være ens. Det ser også sådan ud. Hvad er ikke bevaret? Det gælder generelt for stive transformationer, at de bevarer afstanden mellem tilsvarende punkter, når vi transformerer en figur. De bevarer ting som omkreds og areal. Her kan jeg i stedet for omkreds skrive cirkelperiferien. Disse ting bliver bevaret. De bevarer vinkler. Vi har ikke nogen tydelige vinkler her, men de bevarer også vinkler. Hvad de ikke bevarer er koordinaterne af tilsvarende punkter. De kan bevares men ikke altid. For eksempel koordinaterne af centrum bliver helt sikkert ændret. Vi går fra (-3, 0) til (-1, 2). Koordinaterne er ikke bevaret. Koordinaterne af centrum. Lad os lave et andet eksempel med en figur, der ikke er en cirkel. Vi laver en anden type transformation. Lad os nu lave en spejling. Vi har en firkant ABCD. Vi skal se på, hvad der er bevaret og hvad der ikke er, når vi laver en spejling i linje l. Lad mig skrive det ned. Vi har her en spejling. Vi kan overveje, hvad der sker uden egentlig at udføre den. Men lad os alligevel hurtigt udføre spejlingen. Vi skal spejle i linjen y = x. Det betyder, at koordinaterne ombyttes. x og y ombyttes. Det behøver du dog ikke vide i denne video. Derfor er B' her. A' er her. D' er her. Da C ligger på linjen, så ændrer dets billede C' sig ikke. Lad mig tegne billedet. Du behøver ikke vide, hvordan jeg foretog spejlingen, så jeg gjorde det ret hurtigt. Jeg vil bare gerne vise dig, hvordan spejlbilledet ser ud. Formålet er her at forstå, hvad der sker ved stive transformationer. Spejlbilledet ser nogenlunde således ud. Hvad er bevaret? Disse bevares i alle typer af stive transformationer. Sidelængderne. Det er faktisk en af de måder vi definerer en stiv transformation. En transformation der bevarer længden mellem tilsvarende punkter. Vinkelmål. For eksempel vinkelmål for A er den samme som vinkelmål for A'. Afstanden mellem A og B er den samme som afstanden mellem A' og B'. Omkreds. Hvis du har de samme sidelængder og de samme vinkler så er omkreds og areal også bevaret. Ligesom vi så i eksemplet med drejningen. De er stive transformationer. Disse typer af ting bevares. Hvad er ikke bevaret? Lad os gå tilbage til vores eksempel. Koordinaterne er ikke bevaret. Vi kan se, at billedet af A , A' har andre koordinater end A. B' har andre koordinater end B. C' har i dette tilfælde samme koordinater som C, da C tilfældigvis ligger på spejlingsaksen. Men D' har ikke samme koordinater som D. Koordinaterne for A B D er ikke bevaret ved transformationen. Eller deres billeder har ikke de samme koordinater efter transformationen. Det eneste koordinatsæt, der bevares er for C, fordi det ligger på spejlingsaksen. Du kan også se på sammenhængen mellem dele og linjer, der ikke transformeres. For eksempel inden transformationen er CD parallel med y-aksen. Det kan du se her. Men efter transformationen så er C'D' ikke længere parallel med y-aksen. Faktisk er det nu parallelt med x-aksen. Sammenhænge med ting uden for det der transformeres bevares muligvis ikke. Disse sammenhænge gælder måske ikke længere efter transformationen.