Brøker, decimaltal og procent

Et endeligt decimaltal har et sidste ciffer. Vi kan skrive brøken $\dfrac{33}{100}$start fraction, 33, divided by, 100, end fraction som decimaltallet $0{,}33$0, comma, 33, der kun har to decimaler. Et periodisk decimaltal fortsætter derimod i det uendelige. Vi kan skrive brøken $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction som decimaltallet $0{,}3333\dots$0, comma, 3333, dots, hvor $3$3 fortsætter. Man kan skrive en streg over den gentagende decimal, og derfor skrive $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction som $0{,}\overline{3}$0, comma, start overline, 3, end overline.

Alle reducerede rationelle brøker, hvor nævneren har andre faktorer end $2$2 og $5$5 kan skrives som et periodisk decimaltal. Den del, der gentages, kan være mere en ét ciffer. Vi kan skrive $\dfrac{8}{11}$start fraction, 8, divided by, 11, end fraction som $0{,}727272\dots$0, comma, 727272, dots eller $0{,}\overline{72}$0, comma, start overline, 72, end overline.

Vi kan sammenligne endelige og gentagende decimaltal på samme måde som vi sammenligner to endelige decimaltal. Vi starter ved den højeste pladsværdi, og sammenligner hvert ciffer fra venstre mod højre, indtil vi finder en forskel.

Lad os sammenligne $0{,}67$0, comma, 67 og $0{,}\overline{6}$0, comma, start overline, 6, end overline. Begge tal har $0$0 enere og $6$6 tiendedele. Men $0{,}67$0, comma, 67 har $7$7 hundrededele og $0{,}\overline{6}$0, comma, start overline, 6, end overline har kun $6$6 hundrededele. Derfor er $0{,}67>0{,}\overline{6}$0, comma, 67, is greater than, 0, comma, start overline, 6, end overline.

Prøv selv i øvelsen Omskriv brøker til decimaltal.

Når man skal udregne den procentvise stigning eller fald, skal man kende to tal: den oprindelige værdi og den nye værdi. Forskellen på disse to tal divideres med den oprindelige værdi. Dette vil give et svar, der enten er en brøk eller et decimaltal. Til sidst kan de omskrives til en procent.

Hvis man starter med $20$20, der stiger til $30$30:

Det er en positiv ændring, så det er en stigning på $50\%$50, percent.

Hvis man starter med $20$20, der falder til $15$15:

Det er en negativ ændring, så det er et fald på $25\%$25, percent.

Prøv selv i øvelsen Opgaver med procent.

Man skriver udtryk med procent på forskellige måder, alt efter hvad der giver mest mening i hver enkelt situation.

Vi skal finde prisen på en symaskine efter en rabat på $8\%$8, percent. Hvis symaskinen oprindeligt kostede $m$m kroner, så kan vi skrive prisen efter rabat som:

Når vi skriver udtrykket på denne måde, er det tydeligt at se, at vi fjerner en procentdel. Hvis vi vil gøre det hurtigere at udregne, så kan vi i stedet skrive:

Nu er der kun en beregning at foretage, men hvad udtrykket betyder er ikke nemt at gennemskue.

Nogen gange kan en type udtryk gøre det nemmere at lave udregningen i hovedet. Lad os antage, at det regnede $60\,\text{cm}$60, start text, c, m, end text sidste år, og i år har det regnet $120\%$120, percent mere. Det kan vi skrive som $1{,}20\cdot 60\,\text{cm}$1, comma, 20, dot, 60, start text, c, m, end text, men mange finder det nemmere at udregne $60\cdot \dfrac{6}{5}\,\text{cm}$60, dot, start fraction, 6, divided by, 5, end fraction, start text, c, m, end text. Begge udtryk betyder det samme, så brug det udtryk du bedst syntes om!

Prøv selv i øvelsen Opgaver med tilsvarende udtryk med procent.