If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold
Aktuel tid:0:00Samlet varighed:11:05

Radius, diameter, omkreds og π

Video udskrift

Cirklen er nok den mest grundlæggende form i vores univers. Den er der, når man ser på planetbanerne, når man ser på hjulet, eller når man ser på former i den molekylære verden. Cirklen bliver ved at med poppe op igen og igen. Det er derfor værd at forstå nogle af cirklens egenskaber. De første folk, som opdagede og studerede cirklen spurgte sig selv: Hvilke egenskaber gælder for alle cirkler? Noget af det første, de opdagede var, at en cirkel er alle de punkter, der er lige langt fra punktet i midten af cirklen. Alle disse punkter langs kanten er lige langt fra det centrum, dér. En en af de første ting, man måske vil spørge sig selv om er derfor: Hvad er så den afstand, hvor alle punkterne er lige langt fra centrum? Dér. Vi kalder den afstand for radius i cirklen. Det er netop afstanden fra centrum og ud til kanten. Hvis denne radius er 3 centimeter, så er denne radius også 3 centimeter. Og denne radius er 3 centimeter. Det vil aldrig ændres. Per definition er en cirkel alle de punkter, der er lige langt fra midtpunktet. Den afstand er radius. Den næste interessante spørgsmål, som man kunne stille er: Hvor stor er cirklen? Hvor bred er cirklen ved det bredeste sted? Hvis man vil klippe cirklen over, der hvor den er bredest, hvad er så den afstand man skal klippe? Det behøver ikke at være lige dér. V kunne have lige så godt, have klippet langs det bredeste sted her. Vi klipper ikke et sted som her, fordi det ville ikke være det bredeste sted. men der er mange steder, hvor man kunne klippe på det bredeste sted. Vi har lige set på radius og vi kan nu se at det bredeste punkt går gennem centrum og fortsætter lige over. Det er altså to radier. En radius her og en radius her. Vi kalder afstanden langs det bredeste sted af cirklen for diameteren. Det er cirklens diameter. Den har en meget simpel relation til radius. Diameter er lig med to gange radius. Den næste meget interessante ting, som man muligvis undrer sig over er: hvor langt er rundt om en cirkel? Hvis vi skulle måle hele vejen omkring cirklen med et målebånd, hvad ville så blive vores resultat? Vi kalder det for omkredsen af cirklen. Vi kender nu forholdet mellem diameter og radius, men hvordan afhænger omkredsen af diameteren? Det kan vi regne ud. Man har fundet ud af, hvordan de her ting hænger sammen. For mange tusind år siden tog folk deres målebånd frem og blev ved og ved med at måle cirklers omkreds og deres radier. I starten var deres målebånd ikke så præcise. Det målte måske, at omkredsen af cirklen var cirka 3. Når de bagefter målte diameteren samme cirkel, fandt de, at den var omtrent 1. Lad os skrive det her ned. Vi er interesseret i forholdet mellem omkreds og diameteren. Hvis vi har en en cirkel herovre. Vi har en cirkel her. I starten målte man ikke så præcist. Man målte, at omkredsen cirka var lig med 3, og at cirklens diameter cirka var lig med 1. Det er interessant. Forholdet mellem omkredsen og diameteren er tæt på 3. Måske er omkredsen altid 3 gange diameteren. På den tid målte man en masse cirkler for at finde ud af, om det gjaldt for alle cirkler. Det kunne eksempelvis være den her, som er lidt mindre. Lad os sige, at de målte omkring den cirkel og fandt ud af, at omkredsen er omtrent 6 centimeter. De havde jo et dårligt målebånd, så det var ikke helt præcist. Derefter fandt de ud af, at diameteren var cirka 2 centimeter. Igen var forholdet mellem omkreds og diameter cirka 3. Det ligner et mønster. Måske er forholdet mellem omkreds og diameter konstant for alle cirkler. De undersøgte det derfor endnu mere. Det var meget spændende. Da de fik bedre målebånd, målte de, at diameteren var præcis 1. De var sikker på diameteren var 1, men omkredsen var faktisk tættere på 3,1. Det samme skete her. De lagde mærke til, at dette forhold var tættere på 3,1. De blev ved med at måle, og de blev bedre og bedre og bedre. De målte mere og mere præcist og kom frem til, at forholdet var: 3,14159 De blev ved med at tilføje decimaler. men decimalerne gentog sig aldrig. Det var et mærkeligt fascinerende metafysisk tal som hele tiden dukkede op i andre sammenhænge. Det tal er så grundlæggende for vores univers, fordi cirklen er så grundlæggende for vores univers. Tallet går igen i alle cirklen. Forholdet mellem omkredsen af diameteren var lig med dette tal. Tallet fik sit eget specielle navn. Tallet blev kaldt det pi. Det staves "p" "i", men det skrives normalt med det græske bogstav pi sådan her. Der bogstav repræsenterer dette tal, som nok er det mest fascinerende tal i vores univers. Man opdagede det først som forholdet mellem omkreds og diameteren, men som man vil lære på rejsen gennem matematikken, indgår tallet mange forskellige steder. Det er en af disse grundlæggende ting ved universet, som får en til at tro, at der må være er en eller anden form for orden i universet. Inden det bliver alt for filosofisk, så lad os se på, hvordan vi kan bruge den her viden i vores grundlæggende matematik? Nu ved vi, hvis vi deler omkredsen med diamteren, får vi tallet pi. Pi er netop det her tal. Vi kunne skrive 3,14159 og bare blive ved og ved og ved med at tilføje koordinater, men det ville være spild af plads, og det ville være svært at regne med så vi skriver det græske bogstav. Det her bogstav. Hvordan kan vi bruge det? Vi kan gange begge sider af det her med diameteren, og vi kan sige, at omkredsen er lig med pi gange diameteren. Vi kan også sige, at omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius. Det skrives ofte som 2 pi r. Lad os se, om vi kan anvende det til at løse nogle opgaver: Lad os sige, at vi har en cirkel som den her. Den har en radius på 3. Radius er lig med 3. Det er måske 3 meter, lad os sætte enheden m for meter på. Hvad er omkredsen af cirklen? Omkredsen er lig med 2 gange pi gange radius. Det er lig med 2 gange 3 meter, som er lig med 6 meter, gange pi. Det er 6 pi meter. 6 pi meter. Nu kan vi gange det ud. Husk pi er et tal. Pi er 3,14159 med uendeligt mange decimaler. Hvis vi ganger 6 med pi, får vi 18 komma en masse decimaler. Hvis man har sin lommeregner, kan man regne det, men for at holde det her simpelt, skriver man som regel svaret i enheder af pi. Hvis man ganger 6 med 3,14159, så må det give et tal mellem 18 og 19. Det er 18 komma nogle decimaler. Vi har ikke lige en lommeregner. I stedet for at skrive decimaltallet, kan vi skrive 6 pi. I virkeligheden er svaret nok lidt under 19. Lad os stille et andet spørgsmål. Hvad er diameteren af cirklen? Hvis den her radius er 3, så er diameter to gange det. Det er 3 gange 2 eller 3 plus 3, som er lig med 6 meter. Omkredsen er 6 pi meter, diameteren er 6 meter, og radius er 3 meter. Lad os prøve at regne den anden vej. Antag, at vi har en anden cirkel. Dens omkreds er lig med 10 meter. Hvis man brugte et målebånd og gik rundt om den, ville man måle 10 meter. Hvad er diameteren på cirklen? Vi ved, at diameteren gange pi er lig med omkredsen, og omkredsen er 10 meter. For at løse det her, skal vi dele begge sider i den her ligning med pi. Diameteren er lig med 10 meter over pi eller 10 over pi meter. Det giver et tal. Hvis man har sin lomme regner kan man dele 10 med 3,13159 og så vil man få 3 komma noget. Det er svært at regne i hovedet. Resultatet er dog et tal. Af hensyn til overskueligheden vil man ofte skrive svaret på den her måde. Hvad er radius så? Radius er lig med en halvdelen af diameteren. Diameteren er altså 10 over pi meter. Hvis vi vil finde radius, skal vi gange det med en halv. Vi har altså en halv gange 10 over pi, som er lig med en halv gange 10. Vi kan nu dele tælleren og nævneren med 2. Vi får 5 over pi. Radius er altså 5 over pi. Det er ret let, når man har lavet nogle stykker af dem her. Det er vigtigt at huske på, at pi er et tal. Pi er 3,14159 og uendeligt mange decimaler. Der er faktisk skrevet rigtig mange bøger om pi. De kan være spændende at læse. Det er dog vigtigt at huske, at pi er et tal. Det er et meget specielt tal. Det kan dog skrives som et helt almindeligt tal. Det er dog oftere lettere at skrive det som pi. Nu kan man selv regne nogle eksempler med det her. I den næste video vil vi finde ud af området i en cirkel.