Negative tal: multiplikation og division

Når vi ganger eller dividerer to negative tal med hinanden, så er resultatet et positivt tal. Det lyder måske mærkeligt, men det er vigtigt at huske, at et minustegn i matematik, egentlig blot er en besked om at ændre retning på en tallinje. Når vi ganger eller dividerer to negative tal, så ændrer vi retning to gange, og ender med et positivt tal.

Hvis vi skal visualisere $3 \cdot 4$3, dot, 4 på en tallinje, kan vi vise $3$3 spring på $4$4 enheder til højre, fordi $4$4 er et positivt tal. Vi starter ved $0$0, springer til $4$4, $8$8 og $12$12. Derfor er $3\cdot 4=12$3, dot, 4, equals, 12

Hvis vi derimod skal visualisere $3 \cdot -4$3, dot, minus, 4 på en tallinje, kan vi vise $3$3 spring på $4$4 enheder til venstre, fordi $-4$minus, 4 er et negativt tal. Vi starter ved $0$0, springer til $-4$minus, 4, $-8$minus, 8 og $-12$minus, 12. Derfor er $3\cdot -4=-12$3, dot, minus, 4, equals, minus, 12.

Når vi ganger med et negativt tal, går vi i den modsatte retning, end vi normalt ville. Vi kan derfor visulisere $-3 \cdot -4$minus, 3, dot, minus, 4 som $3$3 spring på $4$4 enheder baglæns. Et normalt spring på $-4$minus, 4 vil gå mod venstre, så et baglæns spring vil gå mod højre. Vi starter ved $0$0, springer til $4$4, $8$8 og $12$12. Derfor er $-3\cdot -4=12$minus, 3, dot, minus, 4, equals, 12.

Prøv selv i øvelsen Multiplikation med negative tal.

De samme regler gælder for brøker som for hele tal. Et minus foran hele brøken betyder, at brøkens værdi er modsat af værdien uden et minustegn. Men vi kan også have et negativt fortegn i tælleren eller nævneren. Hvad betyder det?

Hvert minus, uanset om det er foran hele brøken eller i tælleren, er det samme som at gange med $-1$minus, 1. Derfor er brøken $-\dfrac{-3}{8}$minus, start fraction, minus, 3, divided by, 8, end fraction det samme som brøken $\dfrac{3}{8}$start fraction, 3, divided by, 8, end fraction ganget med $-1$minus, 1 to gange.

Hvert minus i nævneren er det samme som at dividere med $-1$minus, 1. Derfor er brøken $\dfrac{9}{-7}$start fraction, 9, divided by, minus, 7, end fraction det samme som $\dfrac{9}{7}$start fraction, 9, divided by, 7, end fraction divideret med $-1$minus, 1.

Prøv selv i øvelsen Negative fortegn i brøker.

Der er ikke nogle specielle regler at lære, men der er et par ting, det er værd at tænke over.

Minustegnet er det samme som at gange med $-1$minus, 1, derfor har det også samme prioritet som multiplikation og division. I udtrykket $-3^2$minus, 3, squared skal vi derfor først udregne potensen, så tilføje minustegnet.

Hvorimod i udtrykket $(-3)^2$left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, squared er minustegnet inde i parentesen. Derfor skal vi først tilføje minustegnet, så udregne potensen.

Vi har også lært om numerisk værdi og ved at de lodrette streger er et grupperingssymbol. Derfor udføres operationer mellem stregerne først på samme måde som med parenteser.

Derfor udregnes numerisk værdi med samme prioritet som potenser og rødder. Det er fordi $|x|=\sqrt{x^2}$vertical bar, x, vertical bar, equals, square root of, x, squared, end square root.

Lad os udregne værdien af $3-7\cdot |5-8|-4^3$3, minus, 7, dot, vertical bar, 5, minus, 8, vertical bar, minus, 4, cubed.

Prøv selv i øvelsen Regnearternes hierarki med negative tal.