Regning med rationelle tal

Når vi foretager addition og subtraktion med decimaltal, så er det vigtigt at anbringe kommaerne under hinanden, så de samme pladsværdier bruges samtidig. Lad os se på et eksempel. Vi skal lægge $3{,}4$3, comma, 4 og $0{,}52$0, comma, 52 sammen:

Bemærk, at kommaerne er anbragt under hinanden. Det gør det nemme at lægge $4$4 tiendedele og $5$5 tiendedele sammen, og lægge $3$3 enere og $0$0 enere sammen. Hvis vi ikke havde anbragt kommaerne under hinanden, er det nemt at blive forvirret og lave en fejl:

Når opgaven skrives sådan, så kan man nemt komme til at lægge $4$4 og $2$2 sammen, og lægge $3$3 og $5$5 sammen og får $8{,}6$8, comma, 6, som er det forkerte svar. Så husk altid at skrive opgaven med kommaerne under hinanden.

Når man dividerer to hele tal med hinanden, kan man få en rest, der ikke er nul. For eksempel, når vi dividerer $7$7 med $2$2, så får vi $3$3 og en rest på $1$1:

$7 \mathbin{:} 2 = 3$7, colon, 2, equals, 3 Rest $1$1

Vi kan fortsætte udregningen og få et præcist svar uden en rest! Decimalerne svarer division af resten med den samme divisor. Man fortsætter udregningen ved at sætte et komma og et eller flere nuller. Vi kan skrive $7$7 som $7{,}0$7, comma, 0:

Nu dividerer vi resten på $1{,}0$1, comma, 0 med divisoren $2$2, og får $0{,}5$0, comma, 5 ($10$10 tiendedele divideret med $2$2 er $5$5 tiendedele). Den samlede kvotient bliver derfor $3+0{,}5$3, plus, 0, comma, 5, altså $3{,}5$3, comma, 5:

Denne strategi kan bruges for alle hele tal, der divideres og giver en rest. For eksempel, når vi dividerer $9$9 med $4$4, så får vi $2$2 og en rest på $1$1:

$9 \mathbin{:} 4 = 2$9, colon, 4, equals, 2 Rest $1$1

For at gøre udregningen færdig tilføjer vi et komma og to nuller:

Når vi dividerer $1{,}00$1, comma, 00 med $4$4, så får vi $0{,}25$0, comma, 25 ($100$100 hundrededele divideret med $4$4 er $25$25 hundrededele). Den samlede kvotient bliver derfor $2+0{,}25$2, plus, 0, comma, 25, altså $2{,}25$2, comma, 25:

For at dividere decimaltal med decimaltal, så er det nemmeste at omskrive divisoren til et heltal. Det gør vi ved at flytte kommaet på begge tal det samme antal gange, indtil divisoren er et helt tal. Denne metode virker, fordi vi faktisk laver tilsvarende brøker.

Hvis vi skal dividere $3{,}6$3, comma, 6 med $0{,}4$0, comma, 4, så flytter vi kommaet en gang til højre i begge tal og får $36 \mathbin{:} 4$36, colon, 4:

Dernæst kan vi dividere som vi plejer, og får $9$9:

Hvis vi skal dividere $0{,}18 \mathbin{:} 0{,}06$0, comma, 18, colon, 0, comma, 06, så flytter vi kommaet to gange til højre i begge tal og får $18 \mathbin{:} 6$18, colon, 6:

Dernæst kan vi dividere som vi plejer, og får $3$3:

Den reciprokke værdi af et tal er svaret på spørgsmålet, "Hvor mange grupper af dette tal er der i 1?"

Lad os starte med et simpelt eksempel. Hvor mange grupper på $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction er der i $1$1? Der er $3$3 grupper med $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction i hver i $1$1, så $3$3 (eller $\dfrac{3}{1}$start fraction, 3, divided by, 1, end fraction) er det reciprokke af $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Hvor mange grupper på $3$3 er der i $1$1? Der er ikke nogle hele grupper på $3$3 i $1$1, men der er brøkdelen af en gruppe på $3$3 i $1$1. Der er nemlig $\dfrac{1}{3}$start fraction, 1, divided by, 3, end fraction af en gruppe på $3$3 i $1$1.

Her er forskellige måder at tænke på sammenhængen mellem de to reciprokke værdier:

Der er den samme sammenhæng mellem alle par af reciprokke tal. Deres produkt er altid $1$1.

Lad os derfor bestemme den reciprokke værdi af $\dfrac{5}{2}$start fraction, 5, divided by, 2, end fraction.

Den reciprokke værdi af $\dfrac{5}{2}$start fraction, 5, divided by, 2, end fraction er $\dfrac{2}{5}$start fraction, 2, divided by, 5, end fraction og omvendt.

Kan du se, der er et mønster? Når vi skriver tallet som en brøk, så er den reciprokke værdi altid en brøk, hvor der er byttet om på tæller og nævner.

Man kan beskrive division som opdeling af et tal i lige store grupper.

Lad os udregne $5\mathbin{:} \dfrac{2}{3}$5, colon, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Den reciprokke værdi er svaret på spørgsmålet, "Hvor mange grupper af dette tal er der i 1?" Så svaret på opgaven $1 \mathbin{:} \dfrac{2}{3}$1, colon, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction vil være den reciprokke brøk af $\dfrac{2}{3}$start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, altså $\dfrac{3}{2}$start fraction, 3, divided by, 2, end fraction.

Men vi skal bestemme $5\mathbin{:} \dfrac{2}{3}$5, colon, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, som er $5$5 gange så mange. Så svaret bliver derfor $5$5 gange $1 \mathbin{:} \dfrac{2}{3}$1, colon, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Så, $5 \cdot \dfrac{3}{2}$5, dot, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction er det samme som $5 \mathbin{:} \dfrac{2}{3}$5, colon, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

Rationelle tal bruges overalt omkring dig, både som brøker og som decimaltal. For eksempel når vi laver mad, så skal vi ofte gange eller dividerer med brøker for at afmåle ingredienser. Hvis en opskrift siger, der skal bruges $\dfrac{3}{4}$start fraction, 3, divided by, 4, end fraction liter mælk, men vi kun et deciliter mål der går op til $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction liter, så kan vi dividere $\dfrac{3}{4} \mathbin{:} \dfrac{1}{2}$start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, colon, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction og se, hvor mange gange vi skal fylde decilitermålet for at få den rigtige mængde mælk.

Vi møder meget ofte decimaltal, når vi bruger penge. Priser er ofte et decimaltal, så hvis to varer koster $2{,}59$2, comma, 59 kr. og $3{,}99$3, comma, 99 kr., så skal vi løse $2{,}59+3{,}99$2, comma, 59, plus, 3, comma, 99 for at få det samlede beløb på $6{,}58$6, comma, 58 kr.

Der er så mange steder vi bruger brøker og decimaltal - når vi opdeler ting i portioner, udregner procenter af et beløb, eller foretager målinger. Rationelle tal er overalt!