Ligninger og uligheder

Ligninger er matematiske sætninger, der bruger et lighedstegn (=) til at vise, at to udtryk har den samme værdi. For eksempel ligningen $2+3=4+1$‍ siger at addition af $2$‍ og $3$‍ giver det samme resultat som addition af $4$‍ og $1$‍.

Ligninger kan også indeholde bogstaver, kaldet variable, der repræsenterer et ukendt tal. For eksempel ligningen $x+4=10$‍ siger, at addition af $4$‍ og et ukendt tal er lig med $10$‍.

Vi kan bruge ligninger til at modellere situationer fra hverdagen, som hvor mange penge vi har, hvor hurtigt vi bevæger os, eller hvor mange afgrøder vi kan dyrke. Ligninger er nyttige modeller, når vi har to matematiske måder at skrive den samme størrelse på.

Vi kan tjekke løsningen til en ligning ved at indsætte løsningen i stedet for variablen og se, om ligningen er sand.

For eksempel, vi kan tjekke om $6$‍ er en løsning til ligningen $x+4=10$‍ ved at erstatte $x$‍ med $6$‍ og får $6+4=10$‍. Dette er sandt, derfor er $6$‍ en løsning.

Vi kan tjekke om $5$‍ er en løsning til samme ligning ved at erstatte $x$‍ med $5$‍ og får $5+4=10$‍. Dette er ikke sandt, derfor er $5$‍ ikke en løsning.

Ligninger i ét trin er ligninger, hvor der kun skal foretages én regneoperation, som addition, subtraktion, multiplikation eller division. For eksempel er $x+4=10$‍ og ${\displaystyle \frac{x}{7}}=3$‍ ligninger i ét trin.

Man løser en ligning i ét trin ved at foretage den samme operation på begge sider af lighedstegnet, så variablen isoleres. For eksempel så løses ligningen $x+4=10$‍ ved at trække $4$‍ fra på begge sider af lighedstegnet, hvilket giver $x=6$‍.

Ligningen ${\displaystyle \frac{x}{7}}=3$‍ løses ved at gange med $7$‍ på begge sider af lighedstegnet, hvilket giver $x=21$‍. Når vi løser ligninger, så finder vi ud af, hvilken værdi af det ukendte tal, der gør ligningen sand.

En ulighed har ofte et interval af løsninger, der gør uligheden sand. Lad os tænke lidt over det. Hvis vi har uligheden $k<10$‍, hvilke værdier af $k$‍ vil så gøre uligheden sand? Der er mange tal, der er mindre end $10$‍, inklusiv brøker og negative tal.

Vi kan tjekke om et tal er en løsning til en ulighed ved at indsætte det i stedet for variablen og se, om uligheden er sand. For eksempel vi kan tjekke om $8$‍ er en løsning til uligheden $x>7$‍ ved at erstatte $x$‍ med $8$‍ og får $8>7$‍. Dette er sandt, derfor er $8$‍ en løsning. Vi kan tjekke om $6$‍ er en løsning til samme ulighed ved at erstatte $x$‍ med $6$‍ og får $6>7$‍. Dette er ikke sandt, derfor er $6$‍ ikke en løsning til uligheden.

I en simpel ulighed er der en variabel på den ene side af uligheden og et tal på den anden side. Hvis uligheden ikke er skrevet på den form, så skal den først omskrives, før vi kan afbilde den.

Når en simpel ulighed skal afbildes på en tallinje, så er det første trin at finde det punkt på tallinjen, der er ydergrænsen for uligheden, som $7$‍ for $x>7$‍. Denne værdi markeres med en cirkel. Der bruges en udfyldt cirkel (●), hvis værdien er inkluderet i løsningsmængden og en åben cirkel (○), hvis værdien ikke er inkluderet i løsningsmængden. Hvordan ved vi om værdien er inkluderet eller ej? Hvis uligheden har et skarpt ulighedstegn, som $>$‍ eller $<$‍, så er værdien ikke inkluderet. Hvis der bruges $\ge$‍ eller $\le$‍, så er værdien inkluderet.

Dernæst skal vi farve den del af tallinjen, der repræsenter ulighedens løsningsmængde. Du kan tjekke dit resultat ved at indsætte en værdi enten til venstre eller højre for ydergrænsen, som $0$‍. Indsæt dette tal i stedet for variablen i uligheden. Hvis uligheden er sand, farves den side af tallinjen. Hvis ikke, prøv et tal på den anden side af ydergrænsen. For eksempel, når $x>7$‍ skal afbildes, så afsættes en åben cirkel ved $7$‍. Udsagnet $0>7$‍ er falsk, så vi farver ikke den side af tallinjen hvor $0$‍ er, altså til venstre for ydergrænsen. Derimod er udsagnet $10>7$‍ sandt, så vi skal farve den side af tallinjen hvor $10$‍ er. Når $x\le 7$‍ skal afbildes, vil vi derimod bruge en udfyldt cirkel på $7$‍ og farve tallinjen til venstre for cirklen.

Advarsel om typisk fejl. Mange kommer automatisk til at farve tallinjen til højre for ydergrænsen, når de ser et større end symbol som $>$‍ eller $\ge$‍, men dette er kun sandt, når variablen er til venstre for symbolet. I uligheden $3>x$‍ skal du farve til venstre for $3$‍, da løsningsmængden er alle tal mindre end $3$‍.

Nogle gange når vi laver eksperimenter eller sammenligner ting, så skal vi finde ud af, hvordan en ting påvirker en anden ting. For eksempel, vi vil gerne vide, hvordan højden af en rampe påvirker hastigheden af en legetøjsbil, eller hvordan temperaturen af vand påvirker, hvor meget sukker, der kan opløses i det. I disse situationer bruger vi to typer af variable: uafhænge og afhængige.

Den uafhængige variabel er den ting, vi ændrer, for at se hvad der sker. Det er den ting, der påvirker noget andet i vores situation. For eksempel i rampe eksperimentet er den uafhængige variabel højden af rampen. Vi kan vælge forskellige højder og måle, hvor hurtigt bilen kører.

Den afhængige variabel er den ting vi måler eller observerer, efter den er påvirket af den uafhængige variabel. For eksempel i rampe eksperimentet, så er den afhængige variabel bilens hastighed. Vi kan bruge et stopur eller et speedometer til at måle, hvor hurtigt bilen kører ved de forskellige højder af rampen.

Man kan som regel finde frem til den uafhængige og afhængige variabel i en givet situation ved at stille følgende to spørgsmål:

Den variabel, som vi selv ændrer, er den uafhængige variabel. Den variabel, som vi måler eller observerer, er den afhængige variabel. Nogle gange kan det hjælpe at skrive variablerne i en sætning med ordet afhænger. For eksempel hastigheden af bilen afhænger af højden af rampen Det fortæller os, at hastighedn er den afhængige variable og højden er den uafhængige variabel.

Husk, at den uafhængige variabel og den afhængige variabel kan ændre sig alt efter sammenhængen eller det spørgsmål, vi forsøger at besvare. For eksempel hvis vi vil vide, hvordan bilens vægt påvirker hastigheden, så er vægten den uafhængige variabel og hastigheden den afhængige variabel. Højden af rampen er ikke længere relevant.

Når man forstår forskellen på den uafhængige og afhængige variabel, så laver man bedre forsøgsopstillinger, bedre diagrammer og bliver bedre til at fortolke data og observationer mere præcist.