Variable og udtryk

Et algebraisk udtryk er en kombination af tal, variable og matematiske operationer. For eksempel $2x+5$2, x, plus, 5 er et algebraisk udtryk, der betyder "to gange et tal plus fem". Variable er bogstaver eller symboler, der kan antage forskellige værdier. For eksempel $x$x kan være $3$3, $-4$minus, 4 eller et andet tal. De matematiske operationer kan være lægge sammen, trække fra, gange og dividere.

Når man udregner et algebraisk udtryk, så finder man dets værdi, når værdien af de variable, der indgår i udtrykket, kendes.

Når vi ved, $x=3$x, equals, 3, så kan vi udregne $2\cdot x+5$2, dot, x, plus, 5 ved at indsætte $3$3 i stedet for $x$x og foretage beregningerne.

Når et udtryk har mere en én variabel, så skal vi kende værdien af dem alle sammen. Når $x=2$x, equals, 2 og $y=4$y, equals, 4, så kan vi udregne $xy+3y-2$x, y, plus, 3, y, minus, 2 ved at indsætte disse værdier. Husk, $y$y indgår to steder i udtrykket, så det skal have den samme værdi begge steder, når udregningerne laves.

Den distributive lov er en regel, der siger, vi kan omskrive et produkt, når en af faktorerne er en sum eller differens.

Her er et eksempel, hvor der indgår en variabel:

Udtrykkene $2(x+3)$2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis og $2x+6$2, x, plus, 6 vil altid have den samme værdi, når den samme værdi indsætte for $x$x i begge udtryk.

Vi kan også bruge den distributive lov til at faktorisere et udtryk.

Når $7x-14$7, x, minus, 14 faktoriseres til $7(x-2)$7, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, kan man hurtigt se, hvilke værdier af $x$x, der vil give udtrykket værdien nul.

MFM er det mindste fælles multiplum af to eller flere tal. Det er det mindste tal, der er et multiplum af alle tallene. MFM af $4$4 og $6$6 er $12$12, da $12$12 det mindste tal, der både er et multiplum af $4$4 og af $6$6.

SFF er den største fælles faktor af to eller flere tal. SFF af $8$8 og $12$12 er $4$4, da $4$4 er det største tal, som både er en faktor af $8$8 og af $12$12.

Men hvordan hænger MFM og SFF sammen med? Der er en smart formel, der kæder dem sammen. Den hedder produkt reglen. For alle tal $a$a og $b$b gælder, at produktet af dem er lig med deres MFM gange deres SFF. Med andre ord $\text{MFM}(a,b) \cdot \text{SFF}(a,b) = a \cdot b$start text, M, F, M, end text, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, dot, start text, S, F, F, end text, left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis, equals, a, dot, b. Er det ikke bare genialt?

Lad os prøve med $a=15$a, equals, 15 og $b=40$b, equals, 40 for at se, hvordan reglen virker.

Den eneste faktor i begge tal er $5$5, så det er SFF.

MFM af $15$15 og $40$40 er $120$120. Det er et multiplum af $15$15, da $15\cdot 8 = 120$15, dot, 8, equals, 120. Det er et multiplum af $40$40, da $40\cdot 3=120$40, dot, 3, equals, 120. Det er det mindste multiplum, da en faktor på $5$5 på er udeladt, da det er den eneste faktor de to tal har tilfælles.

Ens led er led, der har den samme variabel og samme eksponent. For eksempel $2x$2, x og $5x$5, x er ens led, da de begge har variablen $x$x og eksponenten $1$1. Derimod er $3x$3, x og $4y$4, y ikke ens led, da de har forskellige variable. $x^2$x, squared og $x^3$x, cubed er heller ikke ens led, da de har forskellige eksponenter.

Vi kan samle ens led ved at lægge deres koefficienter sammen. Koefficienten er det tal, der står foran variablen. Vi kan samle $2x$2, x og $5x$5, x ved at lægge koefficienterne $2$2 og $5$5 sammen og får $7x$7, x. Når du ser en variabel uden en koefficient, er det underforstået, at det er $1$1. For eksempel er $y$y egentlig $1y$1, y og $-x^2$minus, x, squared er egentlig $-1x^2$minus, 1, x, squared.

Nogle gange skal vi omskrive et udtryk, hvor nogle af ledende er ens, mens andre ikke er. Det gøres ved først at gruppere de ens led, hvorefter de kan samles. Lad os reducere udtrykket $3x + 4y - 2x + 2y$3, x, plus, 4, y, minus, 2, x, plus, 2, y.

Bemærk, vi beholdte $-$minus tegnet foran det ene led med $x$x, da vi omarrangerede udtrykket. Vi samlede ikke de led med $x$x og dem med $y$y, da har forskellige variable.

Når vi skal omskrive et udtryk, hvor der indgår led med samme variabel men forskellige eksponenter, så kan vi ikke samle disse led, da de ikke betragtes som ens led. Lad os reducere udtrykket $x^3 + 2x^2 - x^2 + 3$x, cubed, plus, 2, x, squared, minus, x, squared, plus, 3.

De led, der indeholder forskellige eksponenter, kan hverken lægges sammen eller trækkes fra hinanden, da $x$x er ganget med sig selv et forskelligt antal gange.

Dette emne bruges mange steder i hverdagen så som i modellering, forholdsregning og funktioner. Ofte kan de bruges, når man skal løse opgaver med penge, geometri eller målinger. Når data og grafer skal analyseres eller vi skal opstille formler og ligninger. Man kan for eksempel lave en algebraisk ligning, der modellerer omkostningerne ved et mobiltelefon abonnement, arealet af en urtehave, højden af en raket eller hastigheden af en bil. Vi kan bruge MFM og SFF, når vi skal tjekke et godt tilbud eller det mindste spild ved en process, eller naturligvis bestemme faktorer. Den distributive lov, samle ens led samt tilsvarende udtryk bruges til beregninger, omskrivning af udtryk samt løsning af ligninger. Algebra er et utroligt nyttigt værktøj, der kan hjælpe os med bedre at forstå verden omkring os.