Hvis du ser denne besked, betyder det, at vi har problemer med at indlæse eksterne ressourcer til Khan Academy.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Hovedindhold

Koordinatsystemet

Her gennemgås ofte stillede spørgsmål, når du begynder at lære om koordinatsystemet.

Hvad er et koordinatsystem?

Et koordinatsystem er en flade med to tallinjer, der krydser hinanden i et punkt kaldet origo. Tallinjen, der går fra venstre mod højre, er kaldet x-aksen og tallinjen, der går nedefra og op, er kaldet y-aksen. De to akser opdeler koordinatsystemet i fire områder kaldet kvadranter. De nummereres i mod urets retning: 1., 2., 3. og 4. kvadrant.

Hvordan afbilder vi punkter i et koordinatsystem?

Hvert punkt i et koordinatsystem består af et koordinatsæt, der beskriver dets position. Et koordinatsæt består af to tal, kaldet koordinater, vist i en parentes afskilt med et komma. Det første tal er x-koordinaten, som fortæller, hvor langt til venstre eller højre punktet er fra origo. Det andet tal er y-koordinaten, som fortæller, hvor langt nede eller oppe punktet er i forhold til origo.
Vi skal altså kende begge koordinater i koordinatsættet for at afsætte et punkt i koordinatsystemet. Dernæst følger vi disse trin:
  • Start i origo, hvor x-aksen og y-aksen krydser hinanden.
  • Gå langs x-aksen indtil du når til punktets x-koordinat. Hvis x-koordinaten er positiv, så går du mod højre. Hvis x-koordinaten er negativ så går du mod venstre
  • Herfra går du lodret op eller ned indtil du når punktets y-koordinat. Hvis y-koordinaten er positiv, så går du opad. Hvis y-koordinaten er negativ, så går du nedad.
  • Afmærk punktet med en prik og mærk det eventuelt med dets koordinater.
Lad os afbilde punktet (3,4). Vi starter i origo, går 3 enheder til højre langs x-aksen. Dernæst går vi 4 enheder lodret ned. Vi afmærker punktet med en prik og mærker det (3,4).

Hvordan måler vi vandrette og lodrette afstande i et koordinatsystem?

Nogle gange vil vi gerne vide, hvor langt to punkter er fra hinanden i et koordinatsystem. Dette kaldes afstanden mellem punkterne. En måde at finde afstanden på er at bruge en lineal eller snor og måle afstanden mellem punkterne. Men hvad nu hvis vi ikke har en lineal eller en snor? Kan vi bruge matematik til at bestemme afstanden?
Ja, det kan vi! Lad os starte med et eksempel hvor de to punkter har den samme x- eller y-koordinat. Det betyder, at de enten ligger på den samme vandrette linje eller på samme lodrette linje. For eksempel punkterne (3,7) og (3,1) har begge en x-koordinaten 3, så de er på den samme lodrette linje. Punkterne (2,4) og (9,4) har begge y-koordinaten 4, så de ligger på den samme vandrette linje.
Hvad er afstanden mellem punkterne (3,7) og (3,1)? Punkt (3,7) er 7 enheder over 3x-aksen. Punkt (3,1) er 1 enhed under 3x-aksen. De to punkter ligger altså på hver sin side af x-aksen. Vi kan udregne den samlede afstand mellem de to punkter ved at lægge sammen:
7+1=8
Afstanden mellem (3,7) og (3,1) er 8 enheder.
Lad os dernæst bestemme afstanden mellem punkterne (2,4) og (9,4). Punkt (9,4) er 9 enheder til venstre for 4y-aksen. Punkt (2,4) er 2 enheder til venstre for 4y-aksen. De to punkter ligger altså på den samme side af y-aksen. Vi kan udregne afstanden mellem de to punkter ved at trække fra:
92=7
Afstanden mellem (2,4) og (9,4) er 7 enheder.

Hvordan udregner vi areal og omkreds af en rektangulær figur i et koordinatsystem?

Det er ofte en god ide at tegne figuren. Hvis vi kender koordinaterne af rektanglets hjørner, så gør vi følgende:
  • Afbild hjørnerne i koordinatsystemet.
  • Afbild rektanglet ved at forbinde hjørnerne med hinanden.
  • Mærk rektanglet med dets navn og hjørnernes koordinater.
Det er ikke altid, vi kender koordinaterne til alle fire hjørner. Hvis vi kun kender de to nederste hjørners koordinater samt rektanglets højde, så kan vi alligevel tegne rektanglet. Vi ved, at højden er vinkelret på grundlinjen, så højden svarer til sidelængden af de to andre sider. Vi kan bruge denne viden til at tegne rektanglet.
Dernæst skal vi bestemme længden af alle siderne.
For at bestemme omkredsen skal vi kende længden af hver side, som dernæst skal lægges sammen.
Når vi skal bestemme arealet af simple figurer, er det kun nødvendigt at kende længden af grundlinjen samt højden. Husk højden er altid vinkelret på grundlinjen. Arealet af et rektangel er grundlinje gange højde. For mere komplicerede figrer kan det være nødvendigt at opdele dem i mindre figurer, udregne deres arealer og dernæst bestemme summen af disse arealer.

Hvorfor skal vi lære at bruge et koordinatsystem?

Koordinatsystemet er et meget nyttigt værktøj, når vi skal repræsentere og analysere situationer i hverdagen. For eksempel kan vi bruge et koordinatsystem til:
  • Kortlægning og retningsangivelser. Et punkts koordinatsæt kan svare til breddegraden og længdegraden af en beliggenhed. Vi kan også bruge koordinatsystmet til at angive ruter, beregne afstande og til at pejle mellem forskellige steder.
  • Afbilde ligninger og funktioner. Et punkts koordinatsæt kan vise os værdien af en variabel og dens sammenhæng med en anden variabel. I et koordinatsystem kan man afbilde de punkter, der gør en ligning eller funktion sand, eller vi kan se, hvordan en graf ændrer udseende, når vi ændrer på de variable.
  • Design og konstruktion af figurer og mønstre. Koordinatsættene til en figur kan fortælle os om figurens dimensioner og orientering. Vi kan afbilde figurerne og dernæst foretage flytninger, som parallelforskydning, drejning og spejling, og se hvorledes figuren ændres.
  • Udforske geometri og kunst. Koordinatsættetene til punkter kan fortælle os om symmetri og æstetik i en figur. Vi kan bruge koordinatsystemet til at lave og værdsætte geometriske og kunstneriske figurer, som polygoner, fraktaler, tessellationer og optiske illusioner.
Koordinatsystemet er altså et meget nyttigt og alsidigt værktøj, der kan hjælpe os med at forstå og kommunikere inden for mange områder i verden omkring os. Vi håber, du glæder dig til at lære mere om det!

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.