Regneregler for grænseværdier

I denne video vil jeg give dig en del regneregler for grænseværdier. Og vi vil ikke bevise dem her. For at kunne bevise disse regler, så skal vi først definere, hvad en grænseværdi er. Og det skal vi ikke i denne video. Det gør vi i en video om ε δ definitionen for grænseværdier. De fleste af disse regler burde umiddelbart give mening. Og de er meget nyttige når du fremover skal reducere opgaver med grænseværdier. Lad os sige, at grænseværdien for en funktion f(x), når x nærmer sig c, er lig L. Lad os også sige, at grænseværdien for en anden funktion g(x), når x nærmer sig c, er M. Givet dette, hvad er så grænseværdien for f(x) + g(x), når x nærmer sig c? Du kan visualisere det ved at se på graferne for to vilkårlige funktioner. Når du lægger de to funktioner sammen er det ret tydeligt --husk jeg laver ikke noget egentligt bevis, da jeg blot giver dig regnereglerne-- at dette er lig med grænseværdien for f(x), når x nærmer sig c, plus grænseværdien for g(x), når x nærmer sig c, som er lig --lad mig bruge samme farve -- dette er lig L, så det bliver L + M. Da dette er lig M. Dette var ikke så svært. Dette kaldes ofte sum reglen for grænseværdier. Vi kan lave en meget lignende for differenser. Grænseværdien for f(x) - g(x), når x nærmer sig c, er lig L - M. Det er blot grænseværdien for f(x), når x nærmer sig c minus grænseværdien for g(x), når x nærmer sig c. Det bliver blot L - M. Vi kalder også dette for differens-reglen for grænseværdier. Og disse giver forhåbentlig mening. Hvad sker der, når vi tager produktet af funktionerne? Grænseværdien for f(x) ⋅ g(x), når x nærmer sig c. Vi er heldige, da det er givet ved grænseværdien for f(x), når x nærmer sig c gange grænseværdien for g(x), når x nærmer sig c. Igen en ret ligetil regneregel for grænseværdier. Dette bliver altså blot L ⋅ M. Hvis vi i stedet for at have en funktion har en konstant. Lad mig bruge samme farve. Grænseværdien af k ⋅ f(x), når x nærmer sig c, hvor k er en konstant, er givet ved k gange grænseværdien for f(x), når x nærmer sig c som jo blot er lig L. Så det bliver altså k ⋅ L. Dette er ofte kaldes multiplum-reglen Vi kan gøre det samme med division. Vi har grænseværdien for f(x)/g(x), når x nærmer sig c, er præcis det samme som grænseværdien for f(x), når x nærmer sig c divideret med grænseværdien for g(x), når x nærmer sig c, --jeg tror du kan gætte det-- som er lig L / M. (M≠0 er et krav, her) Den kaldes ofte kvotient reglen. Til sidst har vi eksponent regnereglen. Hvis jeg har grænseværdien for f(x) opløftet til en potens. lad mig skrive eksponenten som r/s, hvor både r og s er helttal, så er grænseværdien for f(x) opløftet til r/s, når x nærmer sig c, præcis det samme som grænseværdien for f(x) opløftet til r/s, når x nærmer sig c. Igen både r og s er heltal. Og s er ikke 0, da eksponenten så ikke ville give meget mening. Det er det samme som L opløftet til r/s. Når vi bruger disse, kan vi bestemme grænseværdien af mange mange ting. Og det er da ret smart at disse regneregler for grænseværdier er det man naturligt har lyst til at gøre. Hvis du afbilder nogle af funktioner, så giver disse ret meget mening.