Udregning af en vinkel med cosinusrelationerne

Lad os sige, at du undersøger en eller anden lille bakke eller skrænt herover. Du kender dimensionerne. Fra dette punkt til dette punkt langs grundlinjen, langs jorden er der 60 meter. Du ved den stejleste side skrænt, kant eller hvad du nu vil kalde den er 20 meter. Og den længste side, den mindre stejle side er 50 meter lang. Du har målt det. Nu vil du bruge din trigonometri viden til med de givne oplysninger at finde ud af, hvor stejl denne side er? Hvad er stigningen i forhold til jorden? Eller du kan sige, hvad er denne vinkel θ her? Jeg opfordrer dig til at sætte videoen på pause og selv tænke over det. Der er måske noget der dæmre. Du kender 3 sider i en trekant og vi skal bestemme en vinkel. Den indskydelse jeg får er, at måske cosinusrelationerne kan bruges. Lad mig lige skrive cosinusrelationerne før vi forsøger at bruge dem på denne trekant her. Cosinus relationerne siger, at c² = a² + b² - 2a∙b∙cos(θ). Lad os lige minde os selv om, hvad a, b og c er. c er den side modsat vinklen θ. Hvis jeg tegner en vilkårlig trekant her. Og hvis dette er vinklen θ, så betyder det, at c er denne side. a og b kan være begge af disse to sider. a kan være den her og b kan være den der eller omvendt Det skyldes, at a og b har den samme rolle i denne formel. Dette kan være b eller det kan være a. Dernæst skal vi altså bestemme θ på vores skrænt. Hvis dette er θ, hvilken side er c? c er denne side på 20 meter. Vi kan sige, at hvilken som helst af disse er a eller b. Vi kan sige, at a er 50 m og b er 60 meter. Nu kan vi bruge cosinusrelationerne. Cosinusrelationerne siger, at 20² er lig a², som er 50² + b², så +60² -2a∙b, så - 2 gange 50 gange 60 gange cos(θ). Det ser godt ud, da alt er givet. Der er kun en ubekendt. Det er θ. Lad os se, om vi kan isolere θ. 20², det er 400. 50² er 2500. 60² er 3600. og 2 gange 50 er 100 gange 60 er 6000 Lad os reducere dette en smule. 400 er lig 2500 + 3600 det er 6100 --lad mig bruge en ny farve -- Når jeg lægger disse sammen, får jeg 6100. Gjorde jeg det korrekt? Ja, 2000 + 3000 er 5000. 500 + 600 er 1100, så jeg får 6100. -6000 gange cos(θ). Lad os trække 6100 fra på begge sider, så jeg næsten har isoleret θ. Lad os gøre det. Det bliver -5700, er det korrekt? Ja det er korrekt. Fordi hvis det var omvendt, hvis det var 6100 - 400, så ville det være +5700. Okay. Disse to går ud med hinanden. Det bliver lig med -6000 gange cos(θ). Nu kan vi dividere begge sider med -6000 -- jeg bytter lige siderne -- og vi får cos(θ) er lig -- dividerer tæller og nævner med -100 og begge disse er nu positive -- cos(θ) = 57/60. Vi kan reducere yderligere. 3 går op i 57, er det 19 gange? Ja, så dette kan reduceres til 19/20. Vi behøver ikke reducere, da vi skal bruge en lommeregner alligevel, men det gør det nemmere at holde styr på matematikken. 3 går op i 57, 19 gange. Vi tager invers cosinus på begge sider. Vi får θ er lig invers cosinus, eller arccosinus, til 19/20. Lad os hente vores lommeregner og se, om dette giver mening. Vi skal lave invers cosinus til 19/20. -- vi fortjener trommesolo-- Vi får 18,19 grader. Jeg har allerede sikret mig, at min lommeregner var sat til grader. Det er 18,19 grader. Hvis vi skal afrunde, er det omkring 18,2 grader afrundet til nærmeste tiendedel. Dette fortæller os, hvor stejl denne bakke egentlig er.