If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Videregående geometri

Emne: (Videregående geometri > Emne 6

Modul 1: Afstand og midtpunkt
Matematik
Videregående geometri
Analytisk geometri
Afstand og midtpunkt
© 2023 Khan AcademyBrugerbetingelserFortrolighedspolitikCookiemeddelelse

Afstandsformlen

Google Classroom
Gennemgang af at finde en formel for afstanden mellem to punkter.
Afstanden mellem punkterne (x1,y1) og (x2,y2) i koordinatsystemet er givet ved formlen:
(x2−x1)2+(y2−y1)2
I denne artikel kigger vi nærmere på, hvordan vi kommer frem til formlen!

Udledning af afstandsformlen

Lad os starte med at afsætte punkterne (x1,y1) og (x2,y2).
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2.
Længden af linjestykket mellem de to punkter er afstanden imellem dem:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x2 komma y 2. En ret linje forbinder de to punkter.
Vi vil gerne finde afstanden. Hvis vi tegner en retvinklet trekant, kan vi bruge Pythagoras' læresætning!
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
Vi kan udtrykke længden af grundlinjen som x2−x1:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje mærket x 2 minus x 1 forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
På tilsvarende måde kan vi udtrykke længden af højden som y2−y1:
Et koordinatsystem med kun den første kvadrant. Der er to markeringer på x aksen mærket x 1 og x 2. Der er to markeringer på y aksen mærket y 1 og y 2. To punkter er afbildet og mærket med koordinaterne x 1 komma y 1 og x 2 komma y 2. En ret linje mærket med et spørgsmålstegn forbinder de to punkter. Et tredje punkt er afbildet i x 2 komma y 1. En vandret linje mærket x 2 minus x 1 forbinder punktet x 1 komma y 1 med dette punkt. En lodret linje mærket y 2 minus y 1 forbinder x 2 komma y 2 med dette punkt. De tre rette linjer danner en retvinklet trekant, hvor linjen mærket med et spørgsmålstegn er hypotenusen.
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning til at opstille en ligning:
?2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Vi kan finde værdien af ? ved at tage kvadratroden på begge sider:
?=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Det var det! Vi har nu udledt afstandsformlen ud fra Pythagoras' læresætning!
Faktisk behøver du ikke at huske formlen udenad - hvis du vil finde afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem, kan du altid tegne en retvinklet trekant, finde længden af kateterne ved at bruge koordinaterne og til sidst indsætte i Pythagoras' læresætning.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.