Bevis: vinkelrette linjer har modsat reciprokke hældninger

I denne video vil jeg bruge geometri til at bevise, at to vinkerette linjer har modsat reciprokke hældninger. Vi har linjerne l og m, og vi antager, at de er vinkelrette på hinanden. De skærer hinanden i en ret vinkel. Det kan vi se her. Jeg vil nu konstruere nogle andre linjer, som vi skal bruge i vores geometriske bevis. Lad mig lave en vandret linje, der skærer i dette punkt. Lad os kalde det punkt A. Lad mig se, om jeg kan gøre det. Sådan. Det er en vandret linje, der skærer i A. Nu vil jeg lave nogle lodrette linjer. Jeg laver en lodret linje her og jeg laver en lodret linje, her. Dette er 90° og dette er 90°. De er konstrueret således. Den øverste linje er helt vandret og så har jeg lavet to helt lodrette linjer. De mødes i vinkler på 90°. Lad mig lave nogle punkter. Jeg har allerede sagt, at det er punkt A. Lad os kalde dette punkt B. Lad os kalde dette punkt C. Lad os kalde dette punkt D. Og lad os kalde dette punkt E, her over. Hvad er hældningen af linje l? Man kan sige, at linje l forbinder punkterne C og A, så man kan sige, den svarer til hældningen af CA. Den er det samme som hældningen af linje CA. l er linje CA. Hældning er ændring i y over ændring i x. Ændring i y er CB. Det er længden af CB. Det er ændringen i y. Det er CB over ændring i x, som er længden af linjestykke BA, Så CB / BA. Hvad er hældningen af linje m? Vi kan kalde linje m for linje AE. Hvad er hældningen af linje AE? Når vi går fra punkt A til punkt E, så er det ændring i y over ændring i x. Hvad er ændringen i y? Vi har herfra og derned, når vi går fra A til E. Vi kunne også have gjort det herover. Vi går fra A til E. Det er ændringen i y. Nu er vi nok fristet til at skrive, at det er længden af linjestykke DE. Men husk y bliver mindre. Så vi skal huske det negative fortegn, når vi går herfra og herned. Hvad er ændringen i x? Ændringen i x, når vi får fra A til E, er længden af linjestykke AD. Hældningen af m er -DE over -- det negative af denne længde, da vi går nedad -- over linjestykke AD. Nogle af jer er måske allerede nu blevet ansporet af det vi har skrevet. Nu skal vi blot bevise, at disse to trekanter trekant CBA og trekant ADE er ligedannede. Hvorefter vi kan vise, at disse er minus det reciprokke af hinanden. Lad os bevise, at disse to trekanter er ligedannede. Vi har denne vinkel her. Den har størrelsen x. Og lad os sige, vi har denne vinkel, der har størrelsen y. Vi ved, at x + y + 90 = 180, fordi de sammen er supplementære vinkler. Så jeg kan skrive x + 90° + y = 180°. Du trækker 90 fra begge sider, så får du, at x + y = 90°. Disse to udtryk er algebraisk tilsvarende. De er lig 90°. Hvordan kan vi bruge det til at finde nogle af andre vinkler i trekanterne? x plus denne vinkel skal være lig 90°. Du kan sige, at x + 90 + hvad er lig 180. Jeg kigger lige nu på trekant CBA. Vinkelsummen i en trekant er 180°. Så x + 90 + hvad er lig 180. x + 90 + y = 180. Det har vi allerede vist. På samme måde herover. y + 90 + hvad er lig 180. Samme begrundelse y + 90 + x = 180. Vi har nu vist, at for trekant ABC og trekant EDA der er hver af deres tilsvarende vinkler ens. De har begge en vinkel på x. De har begge en vinkel på y og de er begge retvinklet trekanter. Så med vinkel-vinkel-vinkel, en af vores sætninger for ligedannethed, har vi vist, trekant EDA er ligedannet med trekant ABC. Det betyder, at forholdet mellem tilsvarende sider er det samme. Lad os finde forholdene mellem tilsvarende sider. Vi ved, at forholdet mellem CB og BA -- lad os skrive det ned -- Dette fortæller os, at forholdet mellem tilsvarende sider er det samme. Forholdet CB / BA er lig med ... Den tilsvarende side til CB er den modstående side til x-graders vinklen, så den tilsvarende side til CB er AD. Dette er lig AD over... Hvad er den tilsvarende side til BA? BA er modstående til y-graders vinklen. Her er den tilsvarende side DE. AD / DE. Vi så tidligere, at CB / BA er hældningen af l. Hvordan hænger AD / DE sammen med hældningen af m? Hældningen af m er det modsat reciprokke. Når du tager det reciprokke får du DE/AD og så sætter du minus foran. AD/DE er det modsat reciprokke af hældningen af m. Sådan. Vi har lige vist, når vi antager, at l og m er vinkelrette på hinanden og vi laver disse ligedannede trekanter så kan vi vise, at hældningen af l er det modsat reciprokke af hældningen af m.