Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 8

Modul 3: Buelængde (ud fra grader)

Udfordring: Buelængde 1

Løs fire udfordrende opgaver, hvor du skal bestemme længde af en bue, uden direkte at have oplysninger om den centervinkel, der spænder over den.

Opgave 1

I nedenstående figur er

\overset{―}{D B}

\overset{―}{A C}

diametre i cirklen

P

. Længden af

\overset{―}{P B}

8

enheder.

Hvad er længden af $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Vi forsøger at finde længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

D

og ender i punkt

C

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i grader og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirklen

P

har en radius på

8

enheder, da

\overset{―}{P B}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (8) \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Fordi

\overset{―}{C A}

er en diameter, er

∠ C P D

∠ D P A

supplementære vinkler.

$∠ C P D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{D C}

måler

120^{\circ}

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{grader i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ buelængde & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

Længden af

\overset{⌢}{D C}

\frac{16}{3} π

Opgave 2

I figuren nedenfor er radius i cirkel

P

6

enheder.

Hvad er længden af $\overset{⌢}{A B C}$ ‍
Skriv enten et nøjagtigt svar udtrykt med $π$ ‍ eller brug $3, 14$ ‍ for $π$ ‍ og skriv svaret som et decimaltal.

Vi skal bestemme længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

A

, går igennem punkt

B

og ender i punkt

C

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i grader og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirklen

P

har en radius på

6

enheder, da

\overset{―}{C P}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (6) \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Summen af buemålene for

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{B C}

svarer til buemålet for

\overset{⌢}{A B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{grader i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ buelængde & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

Længden af

\overset{⌢}{A B C}

8 π

Opgave 3

I nedenstående figur er

\overset{―}{B C}

diameteren af cirkel

P

. Længden af

\overset{―}{B P}

3

enheder.

Hvad er længden af $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
Skriv enten et nøjagtigt svar udtrykt med $π$ ‍ eller skriv dit svar afrundet til nærmeste heltal.

Vi skal bestemme længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

A

, går igennem punkt

C

og ender i punkt

D

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i grader og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirklen

P

har en radius på

3

enheder, da

\overset{―}{B P}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (3) \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

Figuren viser, at buen svarer til hele cirklens omkreds undtagen buen på

35^{\circ}

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{A C D}

måler

325^{\circ}

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{grader i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ buelængde & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

Længden af

\overset{⌢}{A C D}

\frac{65}{12} π

Opgave 4

I figuren nedenfor er

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. Længden af

\overset{―}{P B}

4

enheder.

Hvad er længden af $\overset{⌢}{B C}$ ‍ i cirkel $P$ ‍?
Skriv enten et nøjagtigt svar udtrykt med $π$ ‍ eller brug $3, 14$ ‍ for $π$ ‍ og skriv dit svar som et decimaltal afrundet til nærmeste hundrededel.

Vi skal bestemme længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

B

og ender i punkt

C

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i grader og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirklen

P

har en radius på

4

enheder, da

\overset{―}{P B}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

En vinkels buemål svarer til den centervinkel, der spænder over buen.

Summen af centervinklerne i enhver cirkel er

360^{\circ}

. Vi ved, at

∠ A P B

∠ B P C

er kongruente.

$\begin{array}{r} ∠ A P B + ∠ B P C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 (∠ B P C) + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ ∠ B P C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

∠ B P C

104^{\circ}

, så buen

\overset{⌢}{B C}

måler

104^{\circ}

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{grader i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ buelængde & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

Længden af

\overset{⌢}{B C}

\frac{104}{45} π

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.