Buemål med ligninger

Hernede har vi cirkel P. Hvad er størrelsen af bue BC i grader? Det er punkt B og det er punkt C. Lad mig vælge en anden farve, så du kan se buen. Da de kun har givet os to bogstaver, så skal vi bruge den lille bue. Vi skal bruge den lille bue mellem B og C. Storbuen går den lange vej rundt og hvis de havde ment storbuen, så ville de have givet os tre bogstaver, for at tvinge os den lange vej rundt. De ville have sagt bue BAC eller BDC, som er den lange vej rundt. Men de har kun skrevet B og C, så vi kan antage, at det er den lille bue. Vi skal finde dette buemål. Buemålet er præcis det samme i grader, som målet af den centervinkel, der spænder over buen. Så det er præcis det samme som størrelsen af denne centervinkel, som er (4k + 159)°. Hvis vi kan finde ud af, hvad k er, så kan vi bestemme centervinklen, som er lig buemålet af denne bue. Hvordan gør vi det? Det der springer dig i øjnene er nok, at den vinkel vi skal bruge, vinkel BPC er topvinkel til vinkel APD. De er topvinkler og topvinkler er lige store. De er kongruente. Disse to mål er altså lig hinanden. Vi ved, at 4k + 159 = 2k + 153. Lad os få alle k-led over på den venstre side og alle ikke k-led over på den højre side. Lad os trække 2k fra på begge sider, Lad mig gøre det først, så jeg ikke springer trin over. Jeg har fjernet alle k'er fra den højre side, og har kun 153 tilbage. På venstre side er 4k - 2k lig 2k, men jeg har stadig +159. Lad os fjerne 159 fra den venstre side ved at trække det fra. Men når jeg gør det på venstre side, så skal jeg også gøre det på højre side. Lad os trække 159 fra på begge sider. Jeg har 2k tilbage som er lig 153 - 159, som er -6. k er lig --dividerer på begge sider med 2-- k = -3. Nu er du måske fristet til at sige, at svaret er -3, men vi skal ikke finde k. Vi skal finde størrelsen af denne vinkel, som er det samme som størrelsen af denne bue. Og den er udtrykt med k. Det bliver 4k + 159, som er 4 ⋅(-3) + 159. Hvad bliver det? 4 gange -3 er -12. +159 er 147. Så denne vinkel her måler 147°. Du kan udregne, at dette er det samme. 2 ⋅(-3) er -6 + 153 er 147°. Disse to er det samme, nemlig 147°. Denne vinkel måler det same som bue BC. Lad os lave en mere. Cirkel P er vist nedenfor. Hvad er størrelsen af bue BC i grader? De har igen kun givet os to bogstaver, så vi kan antage, at det er den lille bue. Vi skal bruge BC. Lige her. Hvad er buemålet af denne bue? Det er det samme som størrelsen af den centervinkel, der spænder over den. Og den er lig summen af disse to vinkler. Den bliver 4y + 6 + 7y - 7. Vi kan samle y-leddene 4y + 7y og få 11y. Og 6 - 7 er -1. Det bliver 11y - 1. Hvordan finder vi ud af det? Hvordan finder vi ud af, hvad y er? Vi skal finde ud af, hvad y er, for at kunne udregne 11y - 1. Lad mig skrive det ned. Den vinkel, vi skal bruge, er 11y - 1. Vi ved, at den vinkel plus den store vinkel, som jeg viser med blåt, skal være 360°. Da vi er gået hele vejen rundt om cirklen. Vi ved, at 11y - 1 + 20y - 11 = 360. Nu kan vi isolere y. Lad mig bruge nogle nye farver. Hvad er 11y + 20y? Det er 31y. Og så har jeg -1 og -11. Jeg bruger en ny farve. -1 og -11 bliver -12. Og det er lig 360°. Vi kan lægge 12 til på begge sider og fjerne -12. Tilbage har vi, at 31y = 372. Vi dividerer på begge sider med 31. Det kunne være 12, ja det er præcis 12. y = 12. Men husk, vi skal ikke finde y. Vi skal udregne 11y -1. Vi har 11 ⋅ 12 --vi ved, at y er 12-- 11 ⋅ 12 - 1. 11 gange 12 er 121. Så 121 - 1. Det bliver... Hov, jeg har vist glemt mine tabeller i dag. Det har været en lang dag. 11 gange 12 er 132. 132 - 1 er 131. Og vi skal husker grader. 131° er størrelsen af denne vinkel, som også er størrelsen af den lille bue BC.