Intuition for areal af en cirkel

I denne video vil jeg lave et uformelt argument for, hvorfor formlen for arealet af en cirkel er 𝜋 r². Vi starter med den mest traditionelle definition af tallet 𝜋. Det gør jeg her i et hjørne. 𝜋 er lig forholdet mellem cirklens omkreds og diameter. Eller vi kan skrive det som forholdet mellem omkredsen og i stedet for diameter kan jeg skrive 2r. Eller jeg kan gange på begge sider med 2 gange radius og vi får den traditionelle formel for omkredsen af en cirkel. Den er altså direkte udledt af definitionen for tallet 𝜋. Tallet 𝜋 er defineret som forholdet mellem omkreds og diameter, og når du ganger begge sider med diameter, så får du, omkredsen er lig 𝜋 gange diameter. Nu har vi formlen for omkreds og igen, den er udledt af definition af 𝜋. Men ud fra den vil jeg forsøge at vise, hvorfor formlen for areal er 𝜋 r². For at gøre det, så skal vi bruge arealet af polygoner, der er indskrevet i en cirkel. Her har jeg en 5-sidet polygon og dens areal er lig med 5 gange arealet af hver af disse trekanter. Arealet af hver af disse trekanter --højden er a, grundlinjen er b-- er højde gange grundlinje gange 1/2. Det bliver 5 gange ab over 2. Det er ikke en særlig god tilnærmelse af cirklens areal. Det er arealet af den indskrevet polygon, så vi har helt sikkert undervurderet arealet af hele cirklen ved at undlade alle disse små stykker uden for polygonen, men som er inden i cirklen. Når vi tilføjer flere sider til polygonen, så vi har mindre udenfor. Når vi har en 1 2 3 4 4 5 7-sidet polygon, så vi har mindre udenfor. Vi undervurderer stadig, men vi undervurderer mindre. Det areal vi udelukker er ikke så stort, som det areal herover. I denne tilnærmelse har vi 7 trekanter? 1 2 3 4 5 6 7 trekanter. Og arealet af hver af disse trekanter er igen ab over 2. Nu er a og b forskellige fra a og b herover. Se, hvad der sker, når vi øger tallet af trekanter. Vi får ikke blot en bedre tilnærmelse af cirklens areal, men a bliver længere. Så du kan forestille dig, når vi laver mange mange mange flere trekanter, så nærmer a sig r. Men hvad nærmer 7 gange b sig? Vi siger, at a nærmer sig r, når vi har flere sider på polygonen og tilføjer flere trekanter. Antallet of trekanter gange grundlinjen af trekanterne, hvad nærmer det sig? Det svarer til omkredsen af polygonen. 7 gange b svarer til den plus... Lad mig lige tegne det. Det er den plus den plus den --du kan se, hvad jeg mener-- plus den plus den plus den plus den. Så 7 gange b svarer til omkredsen af polygonen. Hvad sker der, når vi har flere og flere sider i polygonen? Vores a, vores højde i hver trekant, nærmer sig radius. Højden af hver trekant bliver længere og længere og nærmer sig radius, når vi har et uendeligt antal trekanter. Antallet af sider gange grundlinjerne svarer til omkredsen af polygonen. Når vi tilføjer flere og flere sider, så nærmer omkredsen af polygonen sig omkredsen af cirklen. Det kan du se mere tydeligt her. Hvor mange sider har jeg her? Jeg har 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sider. Jeg kan skrive omkredsen af polygonen som 10 gange b. Når jeg ganger med a/2 --jeg bruger en anden farve-- når jeg ganger 10b med a/2, så nærmer jeg mig arealet af cirklen, da a gange b over 2 er arealet af hver af disse trekanter og nu har jeg 10 trekanter. Lad os se på det mere generelt. Hvad sker der, når jeg har en n-sidet polygon? Så vil jeg tilnærme mig arealet som n gange b... Når n er 10, så får vi 10 gange b. Derfor n∙b gange a/2. Der er ikke noget mystisk ved det jeg har skrevet. Grundlinje gange højde divideret med 2. Det er arealet af hver trekant og når jeg har n af trekanter, så er det vores tilnærmede areal. Lad mig skrive det. Arealet er cirka lig n⋅b ⋅a/2. Det bliver n, da jeg har n trekanter, gange arealet af hver trekant. Hvad sker der når n nærmer sig uendeligt? Når jeg har en polygon med uendelig mange sider. Når jeg har uendelig mange trekanter. Lad os tænker lidt over det, da det begynder at blive spændende. Dette er et uformelt argument. For at vise det bedre, skal jeg bruge infinitesimalregning, men du kan se det grundlæggende her. Lad os se, hvad der sker, når n nærmer sig uendelig. Når n nærmer sig uendelig, så vi ved allerede, at når vi har flere og flere sider og vi får flere og flere trekanter, så nærmer a sig r. Lad mig skrive det. a nærmer sig r. Højden af trekanterne nærmer sig radius. Hvad sker der ellers? n gange b, omkredsen af polygonen, nærmer sig cirklens omkreds. a nærmer sig r og n gange b nærmer sig cirklens omkreds, c. Vi kan derfor sige, hvis den nærmer sig omkredsen, så kan vi sige, at n gange b nærmer sig 2 𝜋 gange radius, da, det er hvad cirklens omkreds er. Hvis a nærmer sig radius og n⋅b nærmer sig 2𝜋⋅r, hvad nærmer arealet af polygonen sig? Arealet af polygonen nærmer sig... n⋅b nærmer sig 2𝜋r, så i stedet for n⋅b skriver jeg 2𝜋r. a nærmer sig r, og så dividerer jeg det med 2. Når n nærmer sig uendelig, og vi har uendelig mange sider i polygonen, et uendeligt antal trekanter, så vil arealet af polygonen nærme sig 2𝜋⋅r⋅r/2, som er lig hvad? Du har 2 divideret med 2 og 𝜋 ⋅ r ⋅ r. Det er lig 𝜋⋅r². Når vi har uendelig mange trekanter og uendelig mange sider, så kan vi se, vi nærmer os arealet af cirklen. Når vi nærmer os arealet af cirklen, så nærmer vi os 𝜋⋅r². Forhåbentlig giver det dig en fornemmelse af, hvorfor dette er formlen for arealet af en cirkel. Du kan sige, arealet af en uendelig-sidet polygon, der er indskrevet i en cirkel, er lig arealet af cirklen.