Hovedindhold

Emne: (Videregående geometri > Emne 8

Modul 8: Indskrevne figurer opgaveløsning

Udfordring: Indskrevne figurer

Løs tre udfordrende opgaver, der anvender egenskaber i indskrevne figurer til at finde en buelængde eller en manglende vinkel.

Opgave 1

I nedenstående figur er længden af

\overset{―}{P B}

15

enheder.

Hvad er den eksakte længde af $\overset{⌢}{A B}$ ‍ i cirkel $P$ ‍?

Vi skal bestemme længden af den bue på cirklen

P

, der begynder i punkt

A

og ender i punkt

B

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i grader og cirklens omkreds.

Vi ved, at cirkel

P

har en radius på

15

enheder, da

\overset{―}{P B}

er en radius.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (15) \\ = 30 π \end{aligned}$ ‍

Trekantens sider

\overset{―}{A P}

\overset{―}{P B}

er kongruente, fordi de er radier i den samme cirkel.

△ A P B

er ligebenet, vil vinklerne overfor de kongruente sider være kongruent.

Vinkelsummen i en trekant er

180^{\circ}

$\begin{aligned} ∠ A P B + 38^{\circ} + 38^{\circ} & = 180^{\circ} \\ ∠ A P B & = 104^{\circ} \end{aligned}$ ‍

Størrelsen af en bue er lig med den centervinkel, der spænder over den. Derfor er

\overset{⌢}{A B}

lig

104^{\circ}

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{grader i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{30 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ buelængde & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 30 π \\ = \frac{26}{3} π \end{aligned}$ ‍

Længden af $\overset{⌢}{A B}$ ‍ er $\frac{26}{3} π$ ‍.

Opgave 2

I figuren nedenfor er firkant

A B C D

indskrevet i cirkel

P

. Radius i cirkel

P

5

enheder.

Hvad er længden af $\overset{⌢}{B C D}$ ‍
Skriv enten et eksakt svar udtrykt med $π$ ‍ eller benyt $3, 14$ ‍ for $π$ ‍ og skriv svaret som et decimaltal.

Vi skal bestemme længden af den bue på cirkel

P

, der begynder i punkt

B

, går igennem punkt

C

og ender i punkt

D

Lad os først udregne omkredsen af hele cirklen. Dernæst kan vi udregne buelængden, da den er proportional med dens buemål i radianer og cirklens omkreds.

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (5) \\ = 10 π \end{aligned}$ ‍

De modstående vinkler i i ALLE inskrevne firkanter er supplementære.

Deres som er derfor

π

$\begin{aligned} ∠ B A D + \frac{9}{20} π & = π \\ ∠ B A D & = \frac{11}{20} π \end{aligned}$ ‍

En periferivinkel er halvt så stor, som buen den spænder over. Da

∠ B A D = \frac{11}{20} π

radianer, så er

\overset{⌢}{B C D} = \frac{11}{10} π

radianer.

Vi kan nu opstille følgende forhold og dernæst isolere buelængden:

\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{buelængde}{10 π} & = \frac{(\frac{11}{10} π)}{2 π} \\ buelængde & = \frac{11 π}{10} \cdot \frac{10 π}{2 π} \\ = \frac{11}{2} π \end{aligned}

Længden af $\overset{⌢}{B C D}$ ‍ er $\frac{11}{2} π$ ‍.

Opgave 3

I figuren nedenfor er

∠ A B C

∠ B C A

periferivinkler på cirkel

P

. Radius i cirkel

P

5

enheder. Buelængden

\overset{⌢}{B A}

π

, og buelængden

\overset{⌢}{C D}

3 π

Hvad er størrelsen af $∠ A E D$ ‍?
Skriv enten et eksakt svar udtrykt med $π$ ‍ eller brug $3, 14$ ‍ for $π$ ‍ og afrund dit svar til nærmeste hundrededel.

radianer

Vi skal kende cirklens omkreds for at kunne udregne buemålene for

\overset{⌢}{B A}

\overset{⌢}{C D}

$\begin{aligned} Omkreds & = 2 π r \\ = 2 π (5) \\ = 10 π \end{aligned}$ ‍

Vi kender længden af

\overset{⌢}{B A}

og kan derfor opstille følgende forhold og dernæst isolere buemålet:

$\begin{aligned} \frac{buelængde}{omkreds} & = \frac{buemål}{radianer i en cirkel} \\ \frac{π}{10 π} & = \frac{buemål}{2 π} \\ buemål & = 2 π \cdot \frac{π}{10 π} \\ = \frac{1}{5} π \end{aligned}$ ‍

Buen

\overset{⌢}{B A}

måler

\frac{1}{5} π

Med samme ræsonnement kan vi udregne, at buen

\overset{⌢}{C D}

måler

\frac{3}{5} π

En periferivinkel er halvt så stor, som buen den spænder over. Da

\overset{⌢}{B A} = \frac{1}{5} π

, så er

∠ B C A = \frac{1}{10} π

Ligeledes, da

\overset{⌢}{C D} = \frac{3}{5} π

, så er

∠ C B D = \frac{3}{10} π

Vinkelsummen i

△ B C E

π

radianer.

$\begin{aligned} 0, 3 π + 0, 1 π + ∠ B E C & = π \\ ∠ B E C & = 0, 6 π \end{aligned}$ ‍

Vinklerne

∠ B E C

∠ A E D

er kongruente, fordi de er topvinkler.

$∠ A E D$ ‍ måler $\frac{3}{5} π$ ‍.

Vil du deltage i samtalen?

Log ind

Sortér efter:

Ingen opslag endnu.

Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.