If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Buer, forholdstal og radianer

Vi kan bruge proportionalitetskonstanten mellem buelængden og radius af et udsnit som en måde at beskrive størrelsen af en vinkel, fordi alle cirkeludsnit med samme centervinkel er ligedannede.

Skalerede cirkler og udsnit

Alle cirkler er ligedannede, fordi vi kan flytte enhver cirkel over i en anden ved kun at bruge stive transformationer og skaleringer. Alle cirkler er Ikke kongruente, fordi de kan have forskellige radier.
Et udsnit er den del af det indre af en cirkel som ligger mellem to radier. To udsnit skal have kongruente centervinkler for at være ens.
En bue er den del af en cirkels omkreds som ligger mellem to radier. Ligeledes skal to buer have kongruente centervinkler for at være ens.
En cirkel med to radier vist og mærket. Yderkanten af cirklen mellem radierne er mærket bue. Området af cirklen mellem radierne er mærket udsnit.
Cirkel B og dets udsnit er et billede af cirkel A og dets udsnit efter en skalering med en skaleringsfaktor på 3.
To cirkler vises. Cirklen til venstre har centrum mærket A. Cirklen til højre har centrum mærket B. En fjerdedel af begge cirkler er farvet.
Hvilke egenskaber i cirkel B er de samme som i cirkel A?
EgenskabSamme eller forskellig
Areal af udsnit
Centervinkel af udsnit
Radius
Buelængde af udsnit
Forholdet mellem cirklens omkreds og radius
Forholdet mellem buelængde og radius

Udledning af forholdstal

Da vi studerede retvinklede trekanter, lærte vi, at for en given spids vinkel er forholdet modstående katetehypotenusen altid det samme, uanset hvor stor den retvinklet trekant er. Vi kalder dette forholdstal for sinus til vinklen.
Noget tilsvarende sker, når vi ser på forholdet buelængderadius i et udsnit med en given vinkel. For hver påstand nedenfor, forklar den for dig selv, før du ser på forklaringen.
Udsnittene i disse to cirkler har samme centervinkel.
To cirkler vises. I begge cirkler er et udsnit farvet. Cirklen til venstre er mærket cirkel 1. Cirklen til højre er mærket cirkel 2. Cirkel 1 er mindre end cirkel 2. I cirkel 1 er radius mærket R 1 og en buelængde mærket L 1. Centervinklen i buen i cirkel 1 er mærket theta. I cirkel 2, er radius mærket R 2, og buelængden er mærket L 2. Centervinklen i buen i cirkel 2 er mærket theta.

Påstande

  1. Cirkel 2 er et billede af cirkel 1 efter en skalering.
  2. Hvis skaleringsfaktoren fra cirkel 1 til cirkel 2 er k, så er r2=kr1.
  3. Buelængden i cirkel 1 er 1=θ360°2πr1.
  4. Med samme begrundelse er buelængden i cirkel 2 2=θ360°2πr2.
  5. Vi kan indsætte ligningen fra påstand 2: 2=θ360°2πkr1.
  6. Derfor er 2=k1.
  7. Vi kan konkludere, at 1r1=2r2.

Konklusion

Forholdet mellem buelængde og radius er det samme i to udsnit med den samme centervinkel, uanset hvor store cirklerne er!

Et nyt forholdstal og en ny måde at måle vinkler på

For enhver vinkel, kan vi forestille os en cirkel med centrum i dens toppunkt. Vinklen målt i radianer er lig med forholdet buelængderadius. Vinklen har det samme mål i radianer, uanset hvor stor cirklen er.
Udfyld tabellen med centervinkel i grader og værdien af forholdet buelængderadius for hver brøkdel af en cirkel.
BrøkdelCentervinkel (grader)Centervinkel (radianer) θ=buelængderadius
12
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
θ=
13
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
θ=
14
  • Dit svar skal være
  • et heltal, som f.eks. 6
  • en reduceret, ægte brøk, som eksempelvis 3/5
  • en reduceret, uægte brøk, som eksempelvis 7/4
  • et blandet tal, som eksempelvis 1 3/4
  • et eksakt decimaltal, som eksempelvis 0,75
  • et multiplum af pi, som f.eks. 12 pi eller 2/3 pi
°
θ=

Flere måder at beskrive radianer på

En radian er den vinkel, som vi får ved at bevæge os længden "en radius" langs omkredsen af en cirkel.
En cirkel. Der er to radier der danner en vinkel ud fra centrum. Buelængden i mellem dem er vist at være lig med længden af radius.
radianer er proportionalitetskonstanten mellem en buelængde og radius.
θ=buelængderadiusθradius=buelængde
En hel omgang rundt om en cirkel svarer til 2π radianer (lidt mere end 6 radianer). Det giver mening, fordi den fulde omkreds af en cirkel er 2πr eller 2π radius længder.
En cirkel opdelt i syv udsnit vises. Seks af udsnittene har en centervinkel på 1 radian og en buelængde lig med længden af cirkelens radius. Den syvende sektor er en mindre sektor. Det syvende udsnit repræsenterer de lidt mere end seks radianer, det kræver at komme en hel omgang rundt i en cirkel.

Hvorfor bruge radianer i stedet for grader?

Ligesom vi kan bruge forskellige enheder for længde til forskellige formål, kan vi også forskellige enheder for vinkler - alt efter situationen.
Grader kan være nyttige, når vi vil arbejde med hele tal, da mange typisk brugte brøkdele af en cirkel er et helt antal grader. Radianer kan forenkle formler, især når vi arbejder med buelængder.
Der er flere andre måder at måle vinkler på. Man kan eksempelvis blot beskrive antallet af hele omgange eller opdele en fuld omdrejning i 100 lige store dele. Det vigtigste er at sikre, at du har kommunikeret, hvilken enhed du bruger, så alle forstår, hvor meget af en hel omgang, der er mellem linjerne i vinklen.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.