If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Hvis du sidder bag et internet-filter, skal du sikre, at domænerne *. kastatic.org og *.kasandbox.org ikke er blokeret.

Hovedindhold

Radianer som forholdet mellem buelængde og radius

Ved at bruge ligedannethed udleder Sal at buelængden er proportional med radius, og vi definerer radianer fra vinklen som proportionalitetskonstanten. Lavet af Sal Khan.

Vil du deltage i samtalen?

Ingen opslag endnu.
Forstår du engelsk? Klik her for at se flere diskussioner på Khan Academys engelske side.

Video udskrift

I denne video skal vi se på en måde at måle vinkler på. Der er flere måder at gøre det på. Du har nok set brugen af grader i andre videoer. Nu skal vi introducere et nyt begreb. Du kender måske allerede begrebet, eller en anden måde at bruge det på. Vi har her vinkel ABC. Vi skal finde en måde at bestemme størrelsen af vinkel ABC. Man kan sige, at denne vinkel spænder over en bue. Her spænder den over bue AC. Og hvis denne vinkel var mindre, dens vinkelmål var mindre, så ville den spænde over en mindre bue. Længden af buen ville være mindre. Hvis vinklen var bredere, havde et større vinkelmål, så den ser sådan her ud, så ville buelængden være større. Kan vi definere vinklens størrelse som længden af den bue den spænder over? Er det en god måde? Nogle af jer vil måske med det samme se, at der er et problem, Fordi længden af den bue, den spænder over, afhænger ikke kun af vinklens størrelse. Den afhænger også af, hvor stor en cirkel vi har. Hvis radius er større, så har du en større buelængde. Lad mig lave en cirkel mere. Vi har det samme vinkelmål, centervinklen lige her. Du kan sige, at vinkel ABC stadig er den samme, men den spænder over forskellige buer i de to forskellige cirkler. Du har denne bue her. Lad os kalde den bue DE. Længden af bue DE er ikke lig længden af bue AC. Så vi kan ikke måle vinkler ved blot at bruge den bue de spænder over. hvis det er en centervinkel i en cirkel. Vi kan fjerne lighedstegnet her. Så hvad kan vi gøre? Du har måske set, at disse to pizzastykker som jeg lige har lavet, og kan kalde stykke ABC og stykke DBE, er ligedannede. Det er ikke ofte vi snakker om ligedannede pizzaer, men hvad betyder det at være ligedannet? Noget er ligedannet, når du kan flytte den ene over i den anden, den ene figur over i den anden, ved at bruge ikke kun stive transformationer, men også skaleringer. Hvis du tager stykke ABC og skalere det med en skaleringsfaktor større end 1 og der en sådan faktor, så kan det flyttes over i stykke DBE. Det interessante her er, når to ting er ligedannede, så er forholdet mellem tilsvarende dele det samme. For eksempel vil forholdet mellem længden af bue AC og længden af linjestykke BC være lig forholdet mellem længden af bue DE og længden af linjestykke BE. Dette er måske en god måde at måle vinkler? Det er faktisk et mål vi bruger i geometri og trigonometri og matematik generelt, vi kalder det radiantallet for en vinkel. Det svarer til forholdet mellem længden af den bue vinklen spænder over og radius. Det har vi lige set her. Lad os se om vi kan gøre det lidt mere håndgribeligt. Lad os sige vi har en cirkel og den har centrum i punkt F. Lad mig lave en vinkel her. Jeg laver en ret vinkel. Lad os kalde dette punkt G og dette H. Lad os sige, at radius her er 2 meter. Hvad er længden af den bue, vinkel GFH spænder over? Den vil være 1/4 af hele cirklens omkreds, som det er tegnet her. Hele omkredsen er 2𝜋 gange radius, som er 2𝜋 gange 2 meter, som bliver 4𝜋 meter. Hvis buelængden er 1/4 af det, så er den 𝜋 meter. Ud fra denne buelængde og denne radius, hvad er størrelsen af vinkel GFH i radianer? Størrelsen af vinkel GFH i radianer er lig forholdet mellem længden af den bue den spænder over og radius. så det bliver 𝜋 meter over 2 meter. De to meter går ud med hinanden. Det bliver lig 𝜋 /2. 𝜋/2 hvad? Vi siger, det er lig 𝜋/2 radianer! Hvorfor kalder vi det radianer? Det lyder ret meget som radius? Man kan sige, når du dividerer denne længde med længden af radius, så finder du ud af, hvor mange radier, der svarer til længden af buen. For eksempel i denne situation, der vil 1 radius se nogenlunde således ud. Du tager den samme længde og du går rundt sådan. Du kan se det bliver 1 komma noget radier. Du kan også sige, det er 1 komma noget radianer. Hvis du dividerer 𝜋 med 2, så får du lidt mere end 1. Du får 1 komma ... 07 et eller andet.